Как вычислить интеграл x^2•sqrt(x-1) методом замены через t?

Математика Колледж Интегралы и методы их вычисления вычисление интеграла интеграл x^2 метод замены интеграл с корнем интеграл через t Новый

Для вычисления интеграла ∫ x²√(x - 1) dx методом замены переменной, давайте проведем следующие шаги:

1. Выбор замены: Мы видим, что под корнем находится выражение (x - 1). Удобно сделать замену переменной, чтобы упростить интеграл. Пусть t = x - 1. Тогда, следовательно, x = t + 1.
2. Нахождение производной: Теперь найдем производную dx по dt. Из нашего уравнения x = t + 1 следует, что dx = dt.
3. Подстановка: Теперь подставим x и dx в интеграл:
   • x² = (t + 1)² = t² + 2t + 1
   • √(x - 1) = √t

   Теперь интеграл становится:

   ∫ (t² + 2t + 1)√t dt
4. Упрощение интеграла: Раскроем скобки и упростим интеграл:
   • ∫ (t²√t + 2t√t + √t) dt
   • ∫ (t^(5/2) + 2t^(3/2) + t^(1/2)) dt
5. Интегрирование: Теперь интегрируем каждое слагаемое:
   • ∫ t^(5/2) dt = (2/7) t^(7/2)
   • ∫ 2t^(3/2) dt = (4/5) t^(5/2)
   • ∫ t^(1/2) dt = (2/3) t^(3/2)

   Таким образом, интеграл будет равен:

   (2/7) t^(7/2) + (4/5) t^(5/2) + (2/3) t^(3/2) + C
6. Возврат к переменной x: Теперь нужно выразить результат через x. Напомним, что t = x - 1. Подставляем обратно: (2/7) (x - 1)^(7/2) + (4/5) (x - 1)^(5/2) + (2/3) (x - 1)^(3/2) + C

Таким образом, мы нашли интеграл ∫ x²√(x - 1) dx и выразили его через переменную x.