Как вычислить площадь, ограниченную линиями y = ln x и касательной, проведенной в точке x0 = e, осью OX?

Математика Колледж Интегралы и площади фигур вычислить площадь линия y = ln x касательная в точке ось OX интегралы геометрия математика площадь фигуры Новый

Чтобы вычислить площадь, ограниченную графиком функции y = ln x, касательной к этому графику в точке x0 = e и осью OX, следуем следующим шагам:

1. Найдем значение функции в точке x0:

   Подставим x0 = e в функцию y = ln x:

   y = ln(e) = 1.

2. Найдем производную функции y = ln x:

   Производная y = ln x равна:

   y' = 1/x.

3. Найдем значение производной в точке x0:

   Подставим x0 = e в производную:

   y'(e) = 1/e.

4. Запишем уравнение касательной:

   Касательная в точке (e, 1) имеет вид:

   y - y0 = y'(x0)(x - x0),

   где (x0, y0) = (e, 1) и y'(x0) = 1/e.

   Подставим значения:

   y - 1 = (1/e)(x - e).

   Упрощаем уравнение касательной:

   y = (1/e)x - 1 + 1 = (1/e)x.

5. Найдем точки пересечения касательной с осью OX:

   Для этого приравняем y к 0:

   0 = (1/e)x.

   Таким образом, x = 0.

6. Определим область, ограниченную графиком:

   Теперь у нас есть график функции y = ln x, касательная y = (1/e)x и ось OX. Мы будем находить площадь между этими графиками от x = 1 до x = e.

7. Вычислим площадь:

   Площадь S можно вычислить по формуле:

   S = интеграл от 1 до e (касательная - функция) dx.

   То есть:

   S = интеграл от 1 до e ((1/e)x - ln x) dx.

8. Посчитаем интеграл:

   Разобьем интеграл:

   S = (1/e) * интеграл от 1 до e (x) dx - интеграл от 1 до e (ln x) dx.

   Сначала найдем интеграл от x:

   Интеграл от x dx = (x^2)/2. Подставляем пределы:

   (1/e) * [(e^2)/2 - (1^2)/2] = (1/e) * (e^2/2 - 1/2) = (e - 1)/(2e).

9. Теперь найдем интеграл от ln x:

   Используем интегрирование по частям:

   Интеграл от ln x dx = x ln x - интеграл от x/x dx = x ln x - x. Подставляем пределы:

   [e ln e - e] - [1 ln 1 - 1] = [e - e] - [0 - 1] = 1.

10. Теперь подставим результаты в площадь:

    S = (e - 1)/(2e) - 1 = (e - 1)/(2e) - (2e)/(2e) = (e - 1 - 2e)/(2e) = (-e - 1)/(2e).

Таким образом, площадь, ограниченная линиями y = ln x, касательной, проведенной в точке x0 = e, и осью OX, равна (-e - 1)/(2e).