Срочно, пожалуйста, найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=lnx, y=ln3, y=ln9 и x=0.

Математика Колледж Интегралы и площади фигур площадь фигуры y=lnx y=ln3 y=ln9 x=0 математика интегралы графики функций области интегрирования

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=lnx, y=ln3, y=ln9 и x=0, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

Линии y=ln3 и y=ln9 являются горизонтальными линиями, которые будут служить верхней и нижней границами для интегрирования. Линия y=lnx является кривой, которая проходит через точку (1, 0) и стремится к бесконечности при увеличении x.

Шаг 2: Нахождение соответствующих значений x для y=ln3 и y=ln9

• Для y=ln3: x=e^(ln3)=3.
• Для y=ln9: x=e^(ln9)=9.

Шаг 3: Построение графика

На графике можно увидеть, что фигура, ограниченная указанными линиями, находится между y=ln3 и y=ln9, а также между x=0 и x=9.

Шаг 4: Вычисление площади

Площадь фигуры можно найти с помощью интегрирования, используя формулу:

Площадь = ∫(y=ln9) - ∫(y=ln3) dx

Интеграл будет вычисляться от x=3 до x=9:

Шаг 5: Формирование интеграла

Площадь S можно выразить следующим образом:

S = ∫[3, 9] (ln9 - lnx) dx

Шаг 6: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

• Интеграл от ln9 по dx равен ln9 * x.
• Интеграл от lnx по dx равен x * ln(x) - x.

Таким образом, подставляем пределы интегрирования:

S = [ln9 * x] от 3 до 9 - [x * ln(x) - x] от 3 до 9.

Шаг 7: Подстановка пределов интегрирования

Подставим пределы:

• Для x=9: ln9 * 9 - (9 * ln(9) - 9) = 9ln9 - 9ln9 + 9 = 9.
• Для x=3: ln9 * 3 - (3 * ln(3) - 3) = 3ln9 - 3ln3 + 3.

Шаг 8: Вычисление окончательной площади

Теперь вычисляем разность:

S = 9 - (3ln9 - 3ln3 + 3) = 6 - 3ln9 + 3ln3.

Таким образом, окончательная площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна:

S = 6 - 3ln9 + 3ln3.

Это и есть ответ на поставленную задачу.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=ln(x), y=ln(3), y=ln(9) и x=0, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим границы интегрирования. Поскольку y=ln(x) - это функция, которая определена только для x > 0, и нам даны горизонтальные линии y=ln(3) и y=ln(9), мы можем найти соответствующие значения x для этих y:
• Для y=ln(3): x=e^(ln(3))=3
• Для y=ln(9): x=e^(ln(9))=9
2. Построим график функций. На графике видно, что область, ограниченная данными линиями, будет находиться между y=ln(3) и y=ln(9), а также между вертикальной линией x=0 и горизонтальной линией y=ln(x).
3. Запишем интеграл для нахождения площади. Площадь A между двумя кривыми можно найти с помощью интеграла:
• A = ∫[x1, x2] (f(x) - g(x)) dx
4. В нашем случае:
• f(x) = ln(x)
• g(x) = ln(3), если x находится от 3 до 9.
5. Запишем интеграл для площади:
• A = ∫[3, 9] (ln(x) - ln(3)) dx
6. Теперь вычислим интеграл:
• Интеграл от ln(x) равен x(ln(x) - 1) + C.
• Интеграл от ln(3) - это просто ln(3) * x.
7. Вычислим интеграл:
• A = [x(ln(x) - 1) - ln(3)x] от 3 до 9
• Подставляем границы:
• A = [9(ln(9) - 1) - ln(3)*9] - [3(ln(3) - 1) - ln(3)*3]
8. Упрощаем полученное выражение:
• A = [9(2 - 1) - 9ln(3)] - [3(1 - 1) - 3ln(3)]
• A = [9 - 9ln(3)] - [-3ln(3)]
• A = 9 - 9ln(3) + 3ln(3)
• A = 9 - 6ln(3)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна 9 - 6ln(3).