Как вычислить предел, указав неопределенность какого вида, и применить правило Лопиталя для выражения:

lim при x → 0 (косинус 3x²) в степени 1/x⁴

Математика Колледж Пределы и непрерывность функций предел неопределенность правило Лопиталя косинус 1/x⁴ математика вычисление предела лимит при x → 0 Новый

Чтобы вычислить предел lim при x → 0 (косинус 3x²) в степени 1/x⁴, сначала определим, какую неопределенность мы имеем.

Когда мы подставляем x = 0 в выражение косинус 3x², получаем:

• косинус 3(0)² = косинус 0 = 1.

Таким образом, мы имеем:

• (косинус 3x²) в степени 1/x⁴ = 1 в степени 1/x⁴.

Это приводит к неопределенности вида 1^∞, что является одной из форм неопределенности. Чтобы решить этот предел, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя.

Для этого сначала перепишем предел в более удобной форме. Мы можем использовать свойство логарифма:

• lim при x → 0 (косинус 3x²)^(1/x⁴) = exp(lim при x → 0 (1/x⁴) * ln(косинус 3x²)).

Теперь нам нужно найти предел:

• lim при x → 0 (1/x⁴) * ln(косинус 3x²).

Когда x стремится к 0, косинус 3x² стремится к 1, и ln(косинус 3x²) стремится к ln(1) = 0. Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0:

• ln(косинус 3x²) ≈ -3x² (по разложению в ряд Тейлора для косинуса).

Теперь подставим это в предел:

• lim при x → 0 (1/x⁴) * (-3x²) = lim при x → 0 (-3/x²).

Это выражение стремится к -∞, когда x стремится к 0. Теперь мы можем записать:

• lim при x → 0 (косинус 3x²)^(1/x⁴) = exp(-∞) = 0.

Таким образом, окончательный ответ:

lim при x → 0 (косинус 3x²) в степени 1/x⁴ = 0.