Чтобы вычислить производную функции f(x) = x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 2x + 1, нужно воспользоваться правилом дифференцирования степенных функций. Давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить:

1. Определите функцию: У нас есть функция f(x) = x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 2x + 1.
2. Примените правило дифференцирования: Для каждого члена функции используем правило: если f(x) = ax^n, то f'(x) = n * ax^(n-1),где a - коэффициент, n - степень.
3. Вычислите производные каждого члена:
   • Для первого члена x⁵: производная будет 5 * x^(5-1) = 5x⁴.
   • Для второго члена 5x⁴: производная будет 4 * 5 * x^(4-1) = 20x³.
   • Для третьего члена 3x²: производная будет 2 * 3 * x^(2-1) = 6x.
   • Для четвертого члена 2x: производная будет 2 (так как производная x равна 1).
   • Для постоянного члена 1: производная будет 0 (производная константы всегда равна 0).
4. Сложите все полученные производные: Теперь мы можем объединить все результаты:
   • 5x⁴ + 20x³ + 6x + 2 + 0.
5. Запишите окончательный ответ: Таким образом, производная функции f(x) будет:

f'(x) = 5x⁴ + 20x³ + 6x + 2.