Какова вероятность того, что студент, знающий 26 из 30 вопросов, ответит правильно на хотя бы 2 из 3 заданных ему вопросов?

Математика Колледж Комбинаторика и теория вероятностей вероятность студент вопросы правильные ответы математика комбинаторика биномиальное распределение задачи на вероятность Новый

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать биномиальное распределение. Мы знаем, что студент знает 26 из 30 вопросов, что дает ему вероятность правильного ответа на один вопрос, равную:

p = 26/30 = 0.8667

Теперь мы хотим найти вероятность того, что студент ответит правильно на хотя бы 2 из 3 заданных вопросов. Это означает, что нам нужно найти вероятность того, что он ответит правильно на 2 или 3 вопроса.

Сначала определим вероятность того, что он ответит правильно на 0 или 1 вопрос, а затем вычтем это из 1, чтобы получить вероятность того, что он ответит правильно на хотя бы 2 вопроса.

Обозначим:

• n = 3 (количество вопросов)
• k = количество правильных ответов (может быть 0, 1, 2 или 3)
• p = 0.8667 (вероятность правильного ответа)
• q = 1 - p = 0.1333 (вероятность неправильного ответа)

Теперь найдем вероятности для k = 0 и k = 1:

1. Вероятность того, что студент ответит правильно на 0 вопросов:

   P(X = 0) = C(3, 0) * p^0 * q^3

   где C(3, 0) = 1, p^0 = 1, q^3 = (0.1333)^3 ≈ 0.0024

   Таким образом, P(X = 0) ≈ 1 * 1 * 0.0024 = 0.0024

2. Вероятность того, что студент ответит правильно на 1 вопрос:

   P(X = 1) = C(3, 1) * p^1 * q^2

   где C(3, 1) = 3, p^1 = 0.8667, q^2 = (0.1333)^2 ≈ 0.0178

   Таким образом, P(X = 1) ≈ 3 * 0.8667 * 0.0178 ≈ 0.0464

Теперь сложим вероятности для k = 0 и k = 1:

P(X = 0) + P(X = 1) ≈ 0.0024 + 0.0464 = 0.0488

Теперь мы можем найти вероятность того, что студент ответит правильно на хотя бы 2 вопроса:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)

P(X ≥ 2) ≈ 1 - 0.0488 = 0.9512

Таким образом, вероятность того, что студент ответит правильно на хотя бы 2 из 3 заданных вопросов, составляет примерно 0.9512 или 95.12%.