В урне находится 10 красных и 5 синих шаров, которые хорошо перемешаны. Наугад извлекаются 3 шара. Каковы математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, которая обозначает количество синих шаров среди трех выбранных?

Математика Колледж Комбинаторика и теория вероятностей математическое ожидание дисперсия среднее квадратическое отклонение дискретная случайная величина количество синих шаров вероятность комбинаторика шарики в урне математические расчеты статистика Новый

Для решения задачи, давайте сначала определим, что такое случайная величина X. В нашем случае X - это количество синих шаров, которые мы можем извлечь из урны. Мы можем извлечь от 0 до 3 синих шаров, следовательно, X может принимать значения 0, 1, 2 или 3.

Шаг 1: Определение вероятностей

Сначала найдем вероятности для каждого значения X. Мы имеем 10 красных и 5 синих шаров, всего 15 шаров. Мы будем использовать формулу для вычисления вероятности гипергеометрического распределения.

• P(X = k) = (C(m, k) * C(N - m, n - k)) / C(N, n),

где:

• N - общее количество шаров (15),
• m - количество синих шаров (5),
• n - количество извлекаемых шаров (3),
• C(a, b) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как a! / (b! * (a - b)!).

Теперь найдем вероятности для всех значений X:

• P(X = 0): Извлекаем 0 синих шаров и 3 красных.
• C(5, 0) * C(10, 3) = 1 * 120 = 120.
• P(X = 1): Извлекаем 1 синий шар и 2 красных.
• C(5, 1) * C(10, 2) = 5 * 45 = 225.
• P(X = 2): Извлекаем 2 синих шара и 1 красный.
• C(5, 2) * C(10, 1) = 10 * 10 = 100.
• P(X = 3): Извлекаем 3 синих шара.
• C(5, 3) * C(10, 0) = 10 * 1 = 10.

Теперь найдем общее количество способов извлечь 3 шара из 15:

• C(15, 3) = 455.

Теперь можем найти вероятности:

• P(X = 0) = 120 / 455 ≈ 0.2637,
• P(X = 1) = 225 / 455 ≈ 0.4945,
• P(X = 2) = 100 / 455 ≈ 0.2198,
• P(X = 3) = 10 / 455 ≈ 0.0220.

Шаг 2: Математическое ожидание

Теперь мы можем найти математическое ожидание E(X):

• E(X) = Σ [x * P(X = x)]

Подставим значения:

• E(X) = 0 * 0.2637 + 1 * 0.4945 + 2 * 0.2198 + 3 * 0.0220.
• E(X) ≈ 0 + 0.4945 + 0.4396 + 0.0660 ≈ 1.0001.

Шаг 3: Дисперсия

Дисперсия D(X) вычисляется по формуле:

• D(X) = E(X^2) - (E(X))^2.

Сначала найдем E(X^2):

• E(X^2) = 0^2 * 0.2637 + 1^2 * 0.4945 + 2^2 * 0.2198 + 3^2 * 0.0220.
• E(X^2) ≈ 0 + 0.4945 + 0.8792 + 0.1980 ≈ 1.5717.

Теперь можем найти дисперсию:

• D(X) = 1.5717 - (1.0001)^2 ≈ 1.5717 - 1.0002 ≈ 0.5715.

Шаг 4: Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение (σ) вычисляется как корень из дисперсии:

• σ = √D(X) ≈ √0.5715 ≈ 0.756.

Итак, итоговые результаты:

• Математическое ожидание E(X) ≈ 1.0001,
• Дисперсия D(X) ≈ 0.5715,
• Среднее квадратическое отклонение σ ≈ 0.756.