Чтобы упростить выражение cot(x) - 1 / (1 - tan(x)), давайте разберем его по шагам.

1. Сначала вспомним определения котангенса и тангенса:

   • cot(x) = 1 / tan(x)
   • tan(x) = sin(x) / cos(x)

2. Теперь подставим tan(x) в выражение:

   cot(x) = 1 / (sin(x) / cos(x)) = cos(x) / sin(x)

   Таким образом, наше выражение принимает вид:

   cot(x) - 1 / (1 - tan(x)) = (cos(x) / sin(x)) - 1 / (1 - (sin(x) / cos(x)))

3. Теперь упростим дробь:

   1 - (sin(x) / cos(x)) = (cos(x) - sin(x)) / cos(x)

   Таким образом, выражение становится:

   cot(x) - 1 / ((cos(x) - sin(x)) / cos(x))

4. Теперь упростим вторую часть:

   1 / ((cos(x) - sin(x)) / cos(x)) = cos(x) / (cos(x) - sin(x))

   Теперь имеем:

   cot(x) - (cos(x) / (cos(x) - sin(x)))

5. Теперь подставим значение cot(x):

   (cos(x) / sin(x)) - (cos(x) / (cos(x) - sin(x)))

6. Чтобы выполнить вычитание, нужно привести дроби к общему знаменателю:

   Общий знаменатель будет sin(x) * (cos(x) - sin(x)).

   Тогда:

   (cos(x) * (cos(x) - sin(x))) / (sin(x) * (cos(x) - sin(x))) - (cos(x) * sin(x)) / (sin(x) * (cos(x) - sin(x)))

7. Теперь объединим дроби:

   (cos(x) * (cos(x) - sin(x)) - cos(x) * sin(x)) / (sin(x) * (cos(x) - sin(x)))

   Упрощаем числитель:

   cos(x) * cos(x) - cos(x) * sin(x) - cos(x) * sin(x) = cos^2(x) - 2 * cos(x) * sin(x)

8. Таким образом, окончательно получаем:

   (cos^2(x) - 2 * cos(x) * sin(x)) / (sin(x) * (cos(x) - sin(x)))

Это и будет упрощенное выражение для cot(x) - 1 / (1 - tan(x)).