Чтобы разобраться, почему возникают разные значения ctg 75°, давайте сначала вспомним, что такое котангенс (ctg) угла и как его можно вычислить.

Определение и формулы:

• Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: ctg(α) = cos(α) / sin(α).
• Для угла 75° можно использовать формулу суммы углов: 75° = 45° + 30°.

Теперь воспользуемся формулами для синуса и косинуса суммы углов:

• sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°).
• cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°.

Значения тригонометрических функций для углов 30° и 45° известны:

• sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2.

Подставляя эти значения, найдем:

• sin(75°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.
• cos(75°) = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6 - √2)/4.

Теперь мы можем найти ctg(75°):

• ctg(75°) = cos(75°) / sin(75°) = [(√6 - √2)/4] / [(√6 + √2)/4] = (√6 - √2) / (√6 + √2).

Теперь давайте упростим это выражение. Умножим числитель и знаменатель на (√6 - √2):

• (√6 - √2)² = 6 - 2√12 + 2 = 8 - 2√12.
• (√6 + √2)(√6 - √2) = 6 - 2 = 4.

Таким образом, ctg(75°) = (8 - 2√12) / 4 = 2 - √3.

Теперь, когда мы знаем, что ctg(75°) = 2 - √3, давайте рассмотрим второй вариант, 1/(2 + √3). Чтобы понять, почему это значение также может появляться, давайте упростим 1/(2 + √3).

Умножим числитель и знаменатель на (2 - √3):

• 1/(2 + √3) * (2 - √3)/(2 - √3) = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3.

Таким образом, оба значения, 2 - √3 и 1/(2 + √3),являются одинаковыми. Это связано с тем, что мы просто использовали разные способы представления одного и того же числа.

Итак, итог: разные записи ctg(75°) приводят к одному и тому же значению, и это происходит из-за свойств арифметики дробей и упрощения выражений.