Почему можно утверждать, что функция f(x)=(x^5+x^4+x^3-5)/(x^2+5) является непрерывной на всей числовой прямой?

Математика Колледж Непрерывность функций функция непрерывность математический анализ пределы числовая прямая свойства функций x дробные функции Новый

Чтобы определить, является ли функция f(x) = (x^5 + x^4 + x^3 - 5) / (x^2 + 5) непрерывной на всей числовой прямой, необходимо рассмотреть два основных аспекта: определение функции и наличие точек разрыва.

1. Определение функции:

• Функция f(x) является дробной, где числитель - это многочлен степени 5 (x^5 + x^4 + x^3 - 5), а знаменатель - это многочлен степени 2 (x^2 + 5).
• Многочлены, как числитель, так и знаменатель, являются непрерывными функциями на всей числовой прямой.

2. Проверка на разрывы:

• Функция будет непрерывной, если её знаменатель не равен нулю на всей числовой прямой.
• Рассмотрим знаменатель: x^2 + 5. Это выражение всегда положительно, так как x^2 всегда неотрицательно, а 5 - положительное число. Следовательно, x^2 + 5 > 0 для любого значения x.
• Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю, и функция f(x) не имеет точек разрыва.

С учетом вышеизложенного, можно утверждать, что функция f(x) является непрерывной на всей числовой прямой, поскольку она является дробной функцией, где числитель и знаменатель являются непрерывными, а знаменатель не равен нулю.