Похожие вопросы
2025-09-21 13:16:06
В магазине электрические лампочки поставляются двумя заводами в соотношении 7:8. Среди продукции первого завода стандартные лампочки составляют 95%, а второго – 90%. Если случайно взять лампочку и она оказалась стандартной, какова вероятность того, что она была изготовлена первым заводом?
Математика Колледж Условная вероятность вероятность лампочки стандартные лампочки первый завод второй завод соотношение заводов математическая задача теорема Байеса условная вероятность магазин лампочек статистика лампочек
2025-09-21 13:16:18
Для решения этой задачи мы будем использовать формулу Байеса. Давайте начнем с обозначения событий:
- A1 - лампочка изготовлена первым заводом.
- A2 - лампочка изготовлена вторым заводом.
- B - лампочка стандартная.
Сначала определим вероятности событий A1 и A2. У нас есть соотношение 7:8, что означает:
- Общая сумма частей = 7 + 8 = 15.
- Вероятность того, что лампочка изготовлена первым заводом: P(A1) = 7/15.
- Вероятность того, что лампочка изготовлена вторым заводом: P(A2) = 8/15.
Теперь определим условные вероятности стандартных лампочек:
- Вероятность того, что лампочка стандартная, если она изготовлена первым заводом: P(B|A1) = 0.95.
- Вероятность того, что лампочка стандартная, если она изготовлена вторым заводом: P(B|A2) = 0.90.
Теперь мы можем найти общую вероятность того, что лампочка стандартная, используя формулу полной вероятности:
P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2).
Подставим известные значения:
- P(B) = 0.95 * (7/15) + 0.90 * (8/15).
Теперь посчитаем:
- P(B) = 0.95 * (7/15) = 0.06667.
- P(B) = 0.90 * (8/15) = 0.048.
Теперь сложим эти результаты:
- P(B) = 0.06667 + 0.048 = 0.11467.
Теперь мы можем найти условную вероятность того, что лампочка была изготовлена первым заводом, если она стандартная, используя формулу Байеса:
P(A1|B) = (P(B|A1) * P(A1)) / P(B).
Подставим известные значения:
- P(A1|B) = (0.95 * (7/15)) / 0.11467.
Теперь посчитаем:
- P(A1|B) = 0.06667 / 0.11467 = 0.581.
Таким образом, вероятность того, что лампочка была изготовлена первым заводом, если она стандартная, составляет примерно 0.581 или 58.1%.