В стране Северная Войтения любой человек, кроме премьер-министра, считается богатым, если его зарплата больше зарплаты премьер-министра, и бедным в противном случае. В этой стране богатые мужчины предпочитают жениться на бедных женщинах. Как можно доказать, что можно установить премьер-министру такую зарплату, чтобы среди всех жителей страны, кроме него, количество богатых мужчин было в точности равно количеству бедных женщин? (Зарплаты всех людей в Северной Войтении, кроме премьер-министра, различны. Его зарплата может быть любой).

Математика Колледж Комбинаторика и теория множеств математика зарплата премьер-министр богатые мужчины бедные женщины Северная Войтения доказательство равенство условия задачи экономические модели Новый

Для решения этой задачи давайте разберем ситуацию шаг за шагом.

1. Определим переменные:

• Обозначим зарплату премьер-министра как Z.
• Обозначим количество мужчин как M, а количество женщин как W.
• Обозначим зарплаты мужчин как Z_m1, Z_m2, ..., Z_mM, а зарплаты женщин как Z_w1, Z_w2, ..., Z_wW.

2. Определим богатых и бедных:

• Мужчины считаются богатым, если Z_mi > Z (зарплата мужчины больше зарплаты премьер-министра).
• Женщины считаются бедным, если Z_wj ≤ Z (зарплата женщины меньше или равна зарплате премьер-министра).

3. Проанализируем условия:

• Пусть среди мужчин есть k богатых (где k ≤ M) и (M - k) бедных.
• Пусть среди женщин есть l бедных (где l ≤ W) и (W - l) богатых.

4. Условия для зарплаты премьер-министра:

• Если мы установим зарплату премьер-министра Z так, что она находится между минимальной зарплатой среди мужчин и максимальной зарплатой среди женщин, то мы можем контролировать количество богатых мужчин и бедных женщин.
• Например, если Z будет ниже минимальной зарплаты среди мужчин, то все мужчины будут богатыми, а если Z будет выше максимальной зарплаты среди женщин, то все женщины будут бедными.

5. Достижение равенства:

• Мы можем установить Z равным некоторой зарплате, которая находится между зарплатами мужчин и женщин, чтобы получить необходимое количество богатых мужчин и бедных женщин.
• Для этого нужно подбирать Z так, чтобы количество мужчин с зарплатами выше Z совпадало с количеством женщин с зарплатами ниже или равными Z.

6. Пример:

• Предположим, что у нас есть 10 мужчин с зарплатами от 30 до 100 и 10 женщин с зарплатами от 20 до 90.
• Если мы установим Z = 50, то у нас будет 5 богатых мужчин (зарплаты 60, 70, 80, 90, 100) и 5 бедных женщин (зарплаты 20, 30, 40, 50, 50).

Таким образом, мы можем установить такую зарплату премьер-министра, чтобы количество богатых мужчин было равно количеству бедных женщин. Мы можем варьировать Z, чтобы достичь желаемого результата, что и доказывает, что это возможно.