Похожие вопросы
2025-09-01 13:36:31
Докажите, что если функция f(x) определена и непрерывна на связном подмножестве X числовой прямой (на отрезке, интервале, полуинтервале, полупрямой, прямой), дифференцируема во всех внутренних точках int X этого множества и существует C>0, такое что для всех x из int X выполняется |f'(x)| ≤ C, то функция f(x) равномерно непрерывна на множестве X.
Математика Университет Равномерная непрерывность функций функция f(x) непрерывность дифференцируемость равномерная непрерывность числовая прямая внутренние точки связное подмножество математический анализ условия равномерной непрерывности
2025-09-01 13:36:43
Давайте разберем доказательство равномерной непрерывности функции f(x) на множестве X, основываясь на заданных условиях.
Шаг 1: Определение равномерной непрерывности
Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве X, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых x1, x2 из X, если |x1 - x2| < δ, то |f(x1) - f(x2)| < ε.
Шаг 2: Использование условия о производной
У нас есть условие, что |f'(x)| ≤ C для всех x из int X. Это означает, что производная функции ограничена. Используя теорему о среднем значении, мы можем утверждать следующее:
Для любых x1, x2 из int X, где x1 < x2, существует такая точка c между x1 и x2, что:
|f(x2) - f(x1)| = |f'(c)| * |x2 - x1|.
Так как |f'(c)| ≤ C, мы можем записать:
|f(x2) - f(x1)| ≤ C * |x2 - x1|.
Шаг 3: Выбор δ
Теперь, чтобы гарантировать, что |f(x1) - f(x2)| < ε, мы можем выбрать δ следующим образом:
Пусть δ = ε / C. Тогда, если |x1 - x2| < δ, мы имеем:
- |f(x2) - f(x1)| ≤ C * |x2 - x1| < C * (ε / C) = ε.
Шаг 4: Обобщение на множество X
Теперь нужно убедиться, что данное условие работает не только для внутренних точек, но и для границ множества X. Поскольку X является связным подмножеством числовой прямой, можно показать, что для любых двух точек x1 и x2 в X можно найти последовательность внутренних точек, которые приближаются к этим границам. Таким образом, мы можем применить тот же аргумент для границ.
Шаг 5: Заключение
Таким образом, мы доказали, что для любого ε > 0 можно выбрать δ > 0, такое что для любых x1, x2 из X, если |x1 - x2| < δ, то |f(x1) - f(x2)| < ε. Это и есть определение равномерной непрерывности.
Следовательно, функция f(x) равномерно непрерывна на множестве X.