Для исследования на равномерную непрерывность функций мы будем использовать критерий, который гласит, что если производная функции ограничена на заданном множестве, то функция равномерно непрерывна на этом множестве.

Рассмотрим каждую из предложенных функций по отдельности.

• На данном множестве функция определена и непрерывна.
• Для нахождения производной f'(x) используем правило деления:
1. f'(x) = (x * cos(x) - sin(x)) / x^2.
• Теперь исследуем поведение f'(x) при x стремящемся к +∞:
1. При x → +∞, sin(x) и cos(x) ограничены, следовательно, f'(x) также ограничена.
• Таким образом, функция f(x) равномерно непрерывна на (0, +∞).

• Эта функция также непрерывна на (0, +∞).
• Найдем производную f'(x):
1. f'(x) = -cos(1/x) / x^2.
• При x → 0 (что соответствует x стремящемуся к +∞) функция cos(1/x) колеблется между -1 и 1, и производная f'(x) не имеет предела.
• Таким образом, производная не ограничена, и функция не равномерно непрерывна на (0, +∞).

• Эта функция также непрерывна на (0, +∞).
• Найдем производную f'(x):
1. f'(x) = sin(1/x) + (1/x) * cos(1/x).
• При x → 0 (что соответствует x стремящемуся к +∞) функция sin(1/x) колеблется, а (1/x) * cos(1/x) также колеблется без ограничений.
• Следовательно, производная не ограничена, и функция не равномерно непрерывна на (0, +∞).

• Эта функция также непрерывна на (0, +∞).
• Найдем производную f'(x):
1. f'(x) = 2x * cos(x^2).
• При x → +∞, cos(x^2) колеблется между -1 и 1, и следовательно, f'(x) не ограничена.
• Таким образом, функция не равномерно непрерывна на (0, +∞).

В итоге, из всех исследованных функций только f(x) = sin(x) / x равномерно непрерывна на множестве (0, +∞). Остальные функции не являются равномерно непрерывными на этом множестве.