Как решить дифференциальное уравнение: y'' + 10*y' + 26*y = (3*x - 1)*e^x? За правильный ответ предлагаю 100 БАЛЛОВ!

Математика Университет Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения y'' + 10*y' + 26*y (3*x - 1)*e^x математика Дифференциальные уравнения метод решения математический анализ Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которое имеет вид:

y'' + 10*y' + 26*y = (3*x - 1)*e^x

мы будем использовать метод вариации параметров. Решение этого уравнения состоит из двух частей: однородной и частного решения.

1. Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения.

Сначала решим однородное уравнение:

y'' + 10*y' + 26*y = 0

Для этого найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 10r + 26 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4*1*26 = 100 - 104 = -4

Так как дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни:

r = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-10 ± 2i) / 2 = -5 ± i

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = e^(-5x) * (C1 * cos(x) + C2 * sin(x))

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Шаг 2: Найдем частное решение.

Теперь мы ищем частное решение y_p для неоднородного уравнения:

y'' + 10*y' + 26*y = (3*x - 1)*e^x

Для этого предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = e^x * (Ax + B)

где A и B - постоянные, которые мы определим позже.

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = e^x * (Ax + B) + e^x * A = e^x * (Ax + A + B)
• y_p'' = e^x * (Ax + A + B) + e^x * (Ax + A) = e^x * (Ax + 2A + B)

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

e^x * (Ax + 2A + B) + 10 * e^x * (Ax + A + B) + 26 * e^x * (Ax + B) = (3x - 1)e^x

Упростим уравнение:

e^x * [(A + 10A + 26A)x + (2A + 10A + 10B + 26B)] = (3x - 1)e^x

Сравниваем коэффициенты:

• A + 10A + 26A = 3 (коэффициент при x)
• 2A + 10A + 10B + 26B = -1 (свободный член)

Решим систему уравнений:

1. 37A = 3 → A = 3/37
2. 2*(3/37) + 10B + 36B = -1
3. 6/37 + 46B = -1
4. 46B = -1 - 6/37 = -43/37 → B = -43/37 * (1/46) = -43/1742

Таким образом, частное решение:

y_p = e^x * (3/37 * x - 43/1742)

3. Шаг 3: Полное решение.

Теперь, полное решение будет равно:

y = y_h + y_p = e^(-5x) * (C1 * cos(x) + C2 * sin(x)) + e^x * (3/37 * x - 43/1742)

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения. Не забудьте, что C1 и C2 определяются из начальных условий, если они даны.