Как решить уравнение x*y''-y'=e^x*x^2 с использованием замены y''=p' и y'=p?

Математика Университет Дифференциальные уравнения решение уравнения замена y'' замена y' метод решения Дифференциальные уравнения математические методы уравнения с производными методы замены переменных Новый

Чтобы решить уравнение x*y'' - y' = e^x * x^2 с использованием замены y'' = p' и y' = p, мы можем следовать следующим шагам:

1. Заменяем производные: Сначала мы сделаем замены в уравнении. Мы знаем, что y' = p, и y'' = p'. Подставим эти выражения в уравнение:
• x * p' - p = e^x * x^2
2. Переписываем уравнение: Теперь мы можем переписать уравнение, чтобы выразить p':
• x * p' = p + e^x * x^2
• p' = (p + e^x * x^2) / x
3. Решаем уравнение для p: Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем использовать метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя. В данном случае попробуем метод интегрирующего множителя.
• Сначала найдем интегрирующий множитель. Уравнение имеет вид:
• p' - (1/x)p = e^x * x
• Интегрирующий множитель μ(x) = e^(∫(-1/x)dx) = e^(-ln|x|) = 1/x.
4. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель:
• (1/x)p' - (1/x^2)p = (1/x)e^x * x^2
• или
• p'/x - p/x^2 = e^x * x.
5. Теперь мы можем записать левую часть как производную:
• (d/dx)(p/x) = e^x * x.
6. Интегрируем обе стороны:
• ∫(d/dx)(p/x)dx = ∫e^x * x dx.
7. Решаем интеграл: Интеграл ∫e^x * x dx можно решить по частям. Пусть u = x, dv = e^x dx. Тогда du = dx, v = e^x.
• ∫e^x * x dx = x * e^x - ∫e^x dx = x * e^x - e^x + C.
8. Подставляем обратно: Получаем:
• p/x = x * e^x - e^x + C.
9. Умножаем на x:
• p = x^2 * e^x - x * e^x + Cx.
10. Теперь возвращаемся к y: Помним, что p = y'. Интегрируем p:
• y = ∫(x^2 * e^x - x * e^x + Cx)dx.
11. Решаем интегралы: Интегрируем каждую часть:
• ∫x^2 * e^x dx = x^2 * e^x - 2∫x * e^x dx = x^2 * e^x - 2(x * e^x - e^x) = (x^2 - 2x + 2)e^x.
• ∫(-x * e^x)dx = -x * e^x + e^x.
• ∫Cx dx = (C/2)x^2.
12. Собираем всё вместе:
• y = (x^2 - 2x + 2)e^x - x * e^x + (C/2)x^2 + D, где D - постоянная интегрирования.

Таким образом, мы нашли общее решение уравнения. Не забудьте проверить, правильно ли вы выполнили все шаги и нет ли ошибок в расчетах.