Какова нижняя оценка вероятности того, что отклонение частоты попаданий от средней вероятности не превышает 0,05, если стрельба ведется поочередно из трех орудий с вероятностями попадания 0,2; 0,4; 0,6 и всего было произведено 600 выстрелов? Пожалуйста, дайте подробный ответ с формулами.

Математика Университет Теория вероятностей математика вероятность оценка вероятности отклонение частоты выстрелы орудия формулы статистика частота попаданий вероятности попадания Новый

Давайте рассмотрим задачу по шагам.

Шаг 1: Определение средней вероятности попадания

У нас есть три орудия с вероятностями попадания 0,2, 0,4 и 0,6. Для начала найдем среднюю вероятность попадания, взяв среднее арифметическое этих вероятностей:

• p = (0,2 + 0,4 + 0,6) / 3 = 0,4

Шаг 2: Определение общего числа выстрелов и ожидаемого числа попаданий

Всего было произведено 600 выстрелов. Ожидаемое число попаданий можно найти по формуле:

• Ожидаемое число попаданий = p * n = 0,4 * 600 = 240

Шаг 3: Определение отклонения

Нам нужно найти вероятность того, что отклонение частоты попаданий от средней вероятности не превышает 0,05. Это означает, что частота попаданий должна находиться в пределах:

• 0,4 - 0,05 ≤ частота ≤ 0,4 + 0,05
• 0,35 ≤ частота ≤ 0,45

В терминах числа попаданий это означает, что:

• 0,35 * 600 ≤ X ≤ 0,45 * 600
• 210 ≤ X ≤ 270

Шаг 4: Применение нормального приближения

Поскольку количество выстрелов велико, мы можем использовать нормальное приближение для биномиального распределения. Для этого найдем дисперсию и стандартное отклонение:

• Дисперсия σ² = n * p * (1 - p) = 600 * 0,4 * 0,6 = 144
• Стандартное отклонение σ = √144 = 12

Шаг 5: Нахождение Z-значений

Теперь определим Z-значения для границ нашего интервала:

• Z1 = (210 - 240) / 12 = -2,5
• Z2 = (270 - 240) / 12 = 2,5

Шаг 6: Использование таблицы Z

Теперь мы можем найти вероятность, соответствующую этим Z-значениям. По таблице Z:

• Вероятность для Z1 = -2,5 примерно равна 0,0062
• Вероятность для Z2 = 2,5 примерно равна 0,9938

Шаг 7: Нахождение итоговой вероятности

Теперь найдем вероятность того, что частота попаданий находится в заданном интервале:

• P(210 ≤ X ≤ 270) = P(Z ≤ 2,5) - P(Z ≤ -2,5) = 0,9938 - 0,0062 = 0,9876

Ответ: Таким образом, нижняя оценка вероятности того, что отклонение частоты попаданий от средней вероятности не превышает 0,05, составляет примерно 0,9876 или 98,76%.