Чтобы найти частные производные функции f(x,y) = sin^(-1)(4x - 7y), необходимо следовать определенным шагам.

Шаг 1: Определение частных производных

• Частная производная по x обозначается как f_x и вычисляется при фиксированном y.
• Частная производная по y обозначается как f_y и вычисляется при фиксированном x.

Шаг 2: Нахождение частной производной f_x

Для нахождения f_x, используем правило цепочки. Функция f(x,y) = sin^(-1)(u), где u = 4x - 7y.

Сначала найдем производную sin^(-1)(u) по u:

• Производная sin^(-1)(u) равна 1 / sqrt(1 - u^2).

Теперь найдем производную u = 4x - 7y по x:

• Производная u по x равна 4.

Теперь применяем правило цепочки:

• f_x = (1 / sqrt(1 - (4x - 7y)^2)) * (4) = 4 / sqrt(1 - (4x - 7y)^2).

Шаг 3: Нахождение частной производной f_y

Теперь найдем f_y, используя аналогичный процесс:

Сначала найдем производную u = 4x - 7y по y:

• Производная u по y равна -7.

Применяем правило цепочки:

• f_y = (1 / sqrt(1 - (4x - 7y)^2)) * (-7) = -7 / sqrt(1 - (4x - 7y)^2).

Итог:

• Частная производная по x: f_x = 4 / sqrt(1 - (4x - 7y)^2).
• Частная производная по y: f_y = -7 / sqrt(1 - (4x - 7y)^2).

Таким образом, мы нашли все частные производные функции f(x,y) = sin^(-1)(4x - 7y).