Для вычисления криволинейного интеграла ∫L (ds / (x - y)) по отрезку прямой y = (1/2)x - 2, который соединяет точки A(0, -2) и B(4, 0), мы будем следовать следующим шагам:

1. Параметризуем кривую. Поскольку кривая задана уравнением прямой, мы можем использовать параметризацию по x. У нас есть:
• x = t, где t изменяется от 0 до 4.
• y = (1/2)t - 2.
2. Вычисляем ds. Для нахождения ds, нужно использовать формулу:
• ds = √(dx² + dy²).

Где dx = dt, а dy = (1/2)dt. Подставляя эти значения, получаем:

• ds = √(dt² + ((1/2)dt)²) = √(1 + (1/4)) dt = √(5/4) dt = (√5/2) dt.
3. Подставляем в интеграл. Теперь мы можем выразить интеграл через параметр t:

Интеграл становится:

∫L (ds / (x - y)) = ∫(t=0 to t=4) ((√5/2) dt / (t - ((1/2)t - 2)))
4. Упрощаем выражение в интеграле. Упростим знаменатель:

t - ((1/2)t - 2) = t - (1/2)t + 2 = (1/2)t + 2.

Теперь интеграл выглядит так:

∫(t=0 to t=4) ((√5/2) dt / ((1/2)t + 2)).
5. Вычисляем интеграл. Выносим постоянный множитель √5/2 за знак интеграла:
(√5/2) ∫(t=0 to t=4) (dt / ((1/2)t + 2)).

Чтобы вычислить этот интеграл, сделаем замену переменной:

• u = (1/2)t + 2, тогда du = (1/2)dt, или dt = 2du.
• Когда t = 0, u = 2; когда t = 4, u = 4.

Интеграл преобразуется в:

(√5/2) * 2 ∫(u=2 to u=4) (1/u) du = √5 ∫(u=2 to u=4) (1/u) du.

Теперь мы можем вычислить интеграл:

√5 [ln|u|] от 2 до 4 = √5 (ln|4| - ln|2|) = √5 ln(4/2) = √5 ln(2).
6. Записываем окончательный ответ.

Таким образом, значение криволинейного интеграла равно:

√5 ln(2).