Как можно доказать, что четырехугольник с координатами вершин (-1; -2), (2; -5), (1; -2), (-2; 1) является параллелограммом, и как найти координаты точки пересечения его диагоналей?

Русский язык 10 класс Геометрия четырёхугольник координаты вершин параллелограмм доказательство точка пересечения диагоналей Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник с заданными координатами вершин является параллелограммом, нам нужно проверить, что его противоположные стороны равны и параллельны. Также мы можем использовать свойства диагоналей. Давайте пройдемся по шагам:

1. Запишем координаты вершин:
   • A(-1; -2)
   • B(2; -5)
   • C(1; -2)
   • D(-2; 1)
2. Найдем длины сторон:
   • AB: √((2 - (-1))² + (-5 - (-2))²) = √(3² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2
   • BC: √((1 - 2)² + (-2 - (-5))²) = √((-1)² + (3)²) = √(1 + 9) = √10
   • CD: √((-2 - 1)² + (1 - (-2))²) = √((-3)² + (3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2
   • DA: √((-1 - (-2))² + (-2 - 1)²) = √((1)² + (-3)²) = √(1 + 9) = √10
3. Сравним противоположные стороны:
   • AB = CD (3√2 = 3√2)
   • BC = DA (√10 = √10)
4. Вывод: Поскольку противоположные стороны равны, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь найдем координаты точки пересечения диагоналей. Для этого нам нужно найти середины диагоналей AC и BD:

1. Найдем середину диагонали AC:
   • Середина AC = ((-1 + 1)/2; (-2 + (-2))/2) = (0; -2)
2. Найдем середину диагонали BD:
   • Середина BD = ((2 + (-2))/2; (-5 + 1)/2) = (0; -2)
3. Вывод: Поскольку середины обеих диагоналей совпадают, то точка пересечения диагоналей находится в точке (0; -2).

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, и координаты точки пересечения его диагоналей равны (0; -2).