Для того чтобы правильно выполнить пунктуационный разбор предложения "птицы гонялись за каждой мошкой за каждым комаром", необходимо следовать нескольким шагам.

• Это сложносочиненное предложение, состоящее из двух однородных членов: "за каждой мошкой" и "за каждым комаром".
• Главная часть предложения: "птицы гонялись".

• В данном предложении "за каждой мошкой" и "за каждым комаром" являются однородными дополнениями, которые отвечают на вопрос "за чем?".

• Согласно правилам русского языка, однородные члены предложения, соединённые союзом "и", "да" (в значении "и"),могут разделяться запятой.
• В нашем случае однородные члены не соединены союзом, а идут последовательно, и запятая между ними не требуется.

Таким образом, в данном предложении запятые не ставятся, и оно записывается без знаков препинания: "птицы гонялись за каждой мошкой за каждым комаром".