Давайте разберем каждое предложение по порядку и найдем грамматические ошибки. 1. **Публичные выступления и чтения в дружеском кругу были для Есенина способом не только познакомить слушателей со своими стихами в определённой, только автору ведомой оркестровке, но и прежде всего идеальным средством самовыражения.** В этом предложении ошибка заключается в нарушении параллелизма конструкций. Грамматически правильная структура требует одинаковой формы глаголов после "не только... но и". В этом предложении следует изменить форму "идеальным средством самовыражения" на "самовыразиться". Исправленный вариант:

Публичные выступления и чтения в дружеском кругу были для Есенина способом не только познакомить слушателей со своими стихами в определённой, только автору ведомой оркестровке, но и самовыразиться.

2. **Местоимение - часть речи, которая указывает на предметы, признаки и количества, но не называет их.** В этом предложении грамматической ошибки нет. Оно корректно с точки зрения грамматики. 3. **В те годы семья Чеховых жила на Садовой, в Кудрине, в небольшом красном уютном домике, какой, кажется, можно встретить только ещё в Москве.** Ошибка здесь заключается в использовании относительного местоимения "какой". В данном контексте следует использовать "который". Исправленный вариант:

В те годы семья Чеховых жила на Садовой, в Кудрине, в небольшом красном уютном домике, который, кажется, можно встретить только ещё в Москве.

4. **Одной из труднейших и опаснейших экспедиций была экспедиция под руководством Ф.Ф.Белинсгаузена, в результате которой была открыта Антарктида.** Грамматическая ошибка в этом предложении связана с тавтологией: повторное использование слова "экспедиция" в одном предложении. Чтобы избежать этого, можно изменить формулировку. Например:

Одной из труднейших и опаснейших была экспедиция под руководством Ф.Ф.Белинсгаузена, в результате которой была открыта Антарктида.

Таким образом, мы нашли и исправили грамматические ошибки в предложениях.