Давайте разберем каждое из предложений по отдельности и выделим пунктуационные правила, которые здесь применяются.

1. Дверь тихонько отворилась, и царевна очутилась в светлой горнице.

• В этом предложении у нас есть два простых предложения, которые связаны союзом "и". Первое простое предложение: "Дверь тихонько отворилась". Второе простое предложение: "царевна очутилась в светлой горнице".
• Запятая ставится перед союзом "и" для разделения этих двух грамматических основ. Это правило указывает на то, что если мы соединяем два самостоятельных предложения с помощью союза, то перед ним должна стоять запятая.

2. Ты к нему теперь ступай, не печалься же, прощай.

• В этом предложении мы видим несколько частей. Основная часть - "Ты к нему теперь ступай". Это главное предложение.
• Далее идет "не печалься же". Эта часть является побудительным предложением, которое можно выделить запятыми, потому что оно уточняет или добавляет информацию к основной мысли. Она может быть удалена, и смысл предложения не изменится: "Ты к нему теперь ступай, прощай".
• Запятая ставится перед "не печалься же", чтобы отделить это побудительное предложение от основного. Также запятая ставится перед "прощай", так как это еще одна часть, добавляющая к основному смыслу.

Таким образом, в первом предложении запятая отделяет два самостоятельных предложения, а во втором - выделяет уточняющее предложение и разделяет разные части одной мысли.