Давайте разберемся с вашими вопросами по порядку.

1. "Следующим" или "следующим"?

• Правильная форма - "следующим".
• Эта форма используется как предложный падеж от слова "следующий" и употребляется, например, в выражениях типа "в следующем месяце", "в следующем году".

2. "Пробудившийся" или "пробудившейся"?

• Форма "пробудившийся" - это причастие, которое относится к мужскому роду.
• Форма "пробудившейся" - это причастие, относящееся к женскому роду.
• Выбор формы зависит от того, о ком или о чем идет речь:
1. Если речь идет о мужчине или о неодушевленном предмете, то используем "пробудившийся".
2. Если речь идет о женщине, то правильно будет "пробудившейся".

Таким образом, правильный выбор формы зависит от контекста, в котором вы их употребляете. Надеюсь, это поможет вам лучше понять правила русского языка!