Чтобы определить, какое из предложений не содержит лексической ошибки, давайте внимательно проанализируем каждое из них.

1. Темой её диссертации стали сказки — один из древнейших жанров народного фольклора.

   В этом предложении всё верно. Сказки действительно являются одним из древнейших жанров народного фольклора, и использование слова "стали" в данном контексте корректно.

2. Нетерпимая зубная боль настигла его с самого утра, поэтому работу пришлось отложить.

   В этом предложении также всё правильно. Словосочетание "нетерпимая зубная боль" является уместным, и предложение по смыслу логично.

3. Благодаря непогоде отпуск оказался испорчен: который день кряду дождь лил как из ведра.

   Здесь есть лексическая ошибка. Выражение "как из ведра" обычно используется в разговорной речи, но в данном контексте лучше было бы использовать более формальное выражение, например, "шёл сильный дождь".

4. Скрепя сердце он взял билет в один конец.

   Это выражение является устойчивым, и оно употребляется в языке правильно. Однако, в некоторых контекстах может показаться неуместным, если речь идёт о поездке, которую человек не хочет совершать.

Таким образом, первое и второе предложения не содержат лексических ошибок. Однако, если выбирать одно, то лучше всего подходит первое предложение, так как оно более формально и точно отражает научный стиль.