Чтобы понять, почему слова, такие как "фининспектор", "спортинвентарь", "пединститут" и "спортигра", пишутся с буквой "И", а не с буквой "Ы", давайте рассмотрим несколько важных моментов.

• Слова, содержащие приставки, образованные от слов с "и", обычно сохраняют эту букву в производных словах.
• В данных словах приставки "фин-", "спорт-", "пед-" образованы от слов, где присутствует "и".

• Некоторые из этих слов являются заимствованными из других языков, где используется буква "и". Например, "институт" пришло из латинского языка.
• Слова, связанные со спортом, также часто имеют международное происхождение, что влияет на их написание.

• В русском языке существует тенденция использовать "и" в словах, которые имеют определенные корни или приставки, чтобы сохранить звучание и произношение.
• Например, "спорт" произносится с "и", и это влияет на написание производных слов.

• Если мы возьмем слово "фининспектор", то "фин" происходит от "финансовый", где "и" сохраняется.
• В слове "спортинвентарь" корень "спорт" также требует использования "и".
• Слово "пединститут" образовано от "педагог", где также используется "и".
• Наконец, "спортигра" происходит от "спорт", что снова подтверждает использование "и".

Таким образом, в этих словах буква "и" используется из-за правил словообразования, заимствования и фонетических особенностей русского языка. Это важно помнить при написании и использовании данных слов.