Давайте разберём каждое из предложений, чтобы понять, где необходимо поставить запятую.

1. Родник течёт по оврагу и впадает в озеро у нашей деревни.

В этом предложении два простых предложения соединены союзом "и" ("Родник течёт по оврагу" и "впадает в озеро у нашей деревни"). Оба действия относятся к одному и тому же подлежащему "родник". Запятая здесь не нужна, так как это однородные сказуемые, соединённые одиночным союзом "и".

2. Птицы разбудят окрестности и споют гимн новому утру.

Здесь также два простых предложения соединены союзом "и" ("Птицы разбудят окрестности" и "споют гимн новому утру"). Оба действия связаны с одним подлежащим "птицы". Запятая не ставится, так как это однородные сказуемые.

3. Бобры строят плотины из сучьев и стволов деревьев.

В этом предложении "из сучьев и стволов деревьев" — это однородные дополнения, соединённые союзом "и". Запятая между ними не нужна.

4. Заморосил мелкий дождик и растаял снежный замок.

В этом предложении два действия: "заморосил мелкий дождик" и "растаял снежный замок". Они относятся к разным подлежащим, хотя подлежащее "дождик" не повторяется во второй части. Здесь необходимо поставить запятую перед союзом "и", так как это сложносочинённое предложение с разными подлежащими.

Таким образом, запятая необходима в последнем предложении: "Заморосил мелкий дождик, и растаял снежный замок."