Давайте разберём каждый из ваших вопросов по порядку.

1. В каком предложении неверно выделено именное сказуемое?

• Рубец стал похож на чёрную гусеницу. - Здесь "стал похож" является составным именным сказуемым, где "похож" - именная часть.
• Месяц назад, в мае, рождён наш герой. - В этом предложении неверно выделено сказуемое. Правильная форма - "наш герой рождён", где "рождён" - причастие, а не именное сказуемое.
• Все мои статьи переполнены цитатами из Чехова, Достоевского, Рабле, Свифта, Эразма Роттердамского. - Здесь "переполнены" - составное именное сказуемое с причастием.
• Караян казался мне небожителем. - "казался" тоже является составным именным сказуемым, где "небожителем" - именная часть.

Таким образом, неверно выделено именное сказуемое в предложении "Месяц назад, в мае, рождён наш герой."

2. Какой частью речи не может быть выражена именная часть составного именного сказуемого?

• Причастием - может быть, так как причастие выполняет функцию именной части.
• Числительным - также может быть, например, "он был первым".
• Наречием - не может быть, так как наречие обозначает признак действия и не может выполнять функцию именной части.
• Глаголом - не может быть, так как глагол не выражает состояние или качество.

Ответ: наречием.

3. Укажите предложение, в котором содержится составное именное сказуемое с нулевой связкой.

• А ты старый, нищий, уродливый и бездарный! - Здесь "старый", "нищий", "уродливый", "бездарный" - прилагательные, но нет сказуемого.
• Прежде всего, была приглашена Ахматова. - Здесь "была приглашена" - составное глагольное сказуемое.
• В середине октября Бутонов приехал к Ване хмурый, не в настроении… - "хмурый" - прилагательное, но сказуемое не выражено.
• Она слыла мегерой, никогда никого не жалела. - "слыла" - составное именное сказуемое, где "мегерой" - именная часть. Здесь есть нулевая связка.

Ответ: "Она слыла мегерой, никогда никого не жалела."

4. Укажите предложение, в котором именная часть составного именного сказуемого выражена наречием.

• Я сел прямо на крыльце, ноги в траве. - "прямо" - наречие, но не в составе сказуемого.
• Суд шёл долго, канительно. - "долго" - наречие, не в составе сказуемого.
• Однако Иосиф был настороже и прижал список ладонью. - "настороже" - наречие, но не в составе сказуемого.
• Он смотрел пристально и доверчиво, словно грязная степная гладь действительно должна была вспыхнуть. - "приставно" и "доверчиво" - наречия, но не в составе сказуемого.

Ответ: ни одно из предложений не содержит именную часть сказуемого, выраженную наречием.

5. Укажите предложение, в котором именная часть составного именного сказуемого выражена местоимением.

• Но Туркенич сказал свое веское слово, это был их старший товарищ, командир Красной Армии, значит, так и должно быть. - "это был" - составное именное сказуемое, где "это" - местоимение.
• Если почтишь меня, то всё будет твоё. - "всё будет твоё" - составное именное сказуемое, но "твоё" - не местоимение.

Ответ: "Но Туркенич сказал свое веское слово, это был их старший товарищ, командир Красной Армии, значит, так и должно быть."