Собственные колебания
ВведениеВ физике колебаниями называют процессы, которые повторяются через определённые промежутки времени. Колебания могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания происходят в системе после выведения её из положения равновесия. Вынужденные колебания возникают под действием внешней периодической силы. В этом учебном материале мы рассмотрим свободные колебания, а именно собственные колебания.
Собственные колебания: определение и примерыСобственные колебания — это колебания, происходящие в системе без воздействия внешних сил. Они возникают из-за внутренних свойств системы, таких как упругость или инерция. Примером собственных колебаний может служить движение маятника без трения. Маятник будет колебаться с определённой частотой, которая зависит от его длины и массы.
Ещё одним примером собственных колебаний является звучание камертона. Когда по камертону ударяют молоточком, он начинает колебаться. Эти колебания создают звуковые волны, которые распространяются в воздухе. Собственные колебания камертона определяют его частоту звука.
Уравнение собственных колебанийДля описания собственных колебаний используют уравнение гармонических колебаний. Оно имеет вид:$x(t) = A \cdot cos(\omega t + \phi)$,где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $t$, $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $\phi$ — начальная фаза.
Циклическая частота связана с периодом колебаний $T$ следующим образом:$\omega = 2 \pi / T$.Период колебаний — это время, за которое система совершает одно полное колебание. Он измеряется в секундах.
Решение уравнения собственных колебанийЧтобы решить уравнение собственных колебаний, нужно найти значения амплитуды $A$, частоты $\omega$ и начальной фазы $\phi$. Для этого можно использовать начальные условия задачи. Например, если известно начальное положение тела и его скорость, можно найти $A$ и $\phi$. Если известна частота колебаний, можно вычислить $A$ и $T$.
Рассмотрим пример решения уравнения собственных колебаний. Пусть тело массой $m$ подвешено на пружине жёсткостью $k$. В начальный момент времени тело находится в положении равновесия и имеет нулевую скорость. Уравнение движения тела имеет вид:$mx'' + kx = 0$.Это уравнение можно привести к виду уравнения гармонических колебаний:$x'' + (k / m) x = 0$.Здесь $\omega^2 = k / m$, откуда $\omega = \sqrt{k / m}$. Таким образом, период колебаний равен:$T = 2 \pi \sqrt{m / k}$.Амплитуда колебаний равна нулю, так как тело изначально находилось в положении равновесия. Начальная фаза также равна нулю.
Вопросы для самоконтроля
ЗаключениеСобственные колебания являются важным понятием в физике. Они широко используются для изучения различных явлений, таких как звук, свет, движение тел. Понимание принципов собственных колебаний помогает лучше понять природу этих явлений и научиться их предсказывать.