Уравнение Шрёдингера. Волновые свойства частиц

Введение

В физике существует множество законов и уравнений, которые описывают поведение различных объектов и явлений. Одним из таких уравнений является уравнение Шрёдингера, которое играет важную роль в квантовой механике и позволяет описывать волновые свойства частиц. В этом учебном материале мы рассмотрим основные аспекты уравнения Шрёдингера и его применение для анализа волновых свойств частиц.

1. Уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера было предложено Эрвином Шрёдингером в 1926 году и стало одним из основных уравнений квантовой механики. Оно описывает изменение во времени состояния квантово-механической системы и позволяет предсказывать её поведение.

Для того чтобы понять, как работает уравнение Шрёдингера, необходимо ввести несколько понятий:

• Волновая функция: Это математическая функция, которая описывает состояние частицы или системы. Она может быть представлена в виде волны, и её значение в каждой точке пространства определяет вероятность нахождения частицы в этой точке.
• Гамильтониан: Это оператор, который описывает полную энергию системы. Он включает в себя кинетическую и потенциальную энергии.
• Стационарное уравнение Шрёдингера: Это частный случай уравнения Шрёдингера, когда полная энергия системы не зависит от времени.

Стационарное уравнение Шрёдингера имеет следующий вид:

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x, y, z) + V(x, y, z)\psi(x, y, z)=E\psi(x, y, z)$$

где:

• $\hbar$ — постоянная Планка;
• m — масса частицы;
• $V(x,y,z)$ — потенциальная энергия частицы в точке $(x,y,z)$, зависящая от координат;
• E — полная энергия частицы.

Это уравнение позволяет определить волновую функцию $\psi$, которая соответствует определённому состоянию частицы с энергией E.

2. Волновые свойства частиц

Волновые свойства частиц связаны с их квантовым поведением и описываются уравнением Шрёдингера. Они включают в себя следующие явления:

• Интерференция: Когда две волны проходят через одну и ту же область пространства, они могут взаимодействовать друг с другом, создавая интерференционную картину. Это явление наблюдается и у частиц, что свидетельствует о их волновой природе.
• Дифракция: Частицы могут дифрагировать на препятствиях, подобно тому как это делают волны. Это также подтверждает их волновые свойства.
• Квантование энергии: Уравнение Шрёдингера позволяет получить дискретные значения энергии для определённых состояний частиц. Это называется квантованием энергии.

Эти волновые свойства являются основой для понимания многих явлений в микромире, таких как атомные и молекулярные структуры, спектры излучения и поглощения и т.д.

3. Примеры применения уравнения Шрёдингера

Рассмотрим несколько примеров, где уравнение Шрёдингера используется для анализа волновых свойств частиц:

1. Частица в потенциальной яме: Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками. Уравнение Шрёдингера для этого случая имеет вид:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V_0\psi=E\psi$$

Здесь $V_0$ — глубина потенциальной ямы, а $E$ — энергия частицы. Решая это уравнение, можно получить собственные значения энергии и соответствующие им волновые функции.

2. Атом водорода: Атом водорода представляет собой простейшую систему, в которой можно применить уравнение Шрёдингера. Для атома водорода уравнение имеет вид:

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2-\frac{e^2}{4\pi\epsilon0r}\right)\psi{nlm}(r,\theta,\phi)=E{nl}\psi{nlm}(r,\theta,\phi)$$

Здесь $m_e$ — масса электрона, $e$ — заряд электрона, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $r$, $\theta$ и $\phi$ — сферические координаты, а $n$, $l$ и $m$ — квантовые числа, определяющие состояние электрона в атоме. Решение этого уравнения позволяет получить энергетические уровни и волновые функции электрона в атоме водорода.

3. Прохождение частицы через барьер: Уравнение Шрёдингера также позволяет анализировать прохождение частицы через потенциальный барьер. Например, если частица движется слева направо и встречает на своём пути потенциальный барьер, то она может отразиться от него или пройти через него. Вероятность прохождения через барьер зависит от высоты барьера и энергии частицы.

Заключение

Таким образом, уравнение Шрёдингера является важным инструментом для изучения волновых свойств частиц и их поведения в различных условиях. Оно позволяет получать точные решения для многих задач, связанных с квантовыми системами, и является основой для развития квантовой физики.