Тема: «Тригонометрические функции»
Цель урока: изучить тригонометрические функции, их свойства и графики.
Задачи урока:
План урока:
Введение в тему
Тригонометрия — это раздел математики, который изучает тригонометрические функции и их применение. Тригонометрические функции используются для описания периодических процессов, таких как колебания, волны и движение по окружности. В 10 классе мы рассмотрим основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс.
Определение тригонометрической функции
Рассмотрим окружность с радиусом R и центром в начале координат (0, 0). Пусть точка M(x, y) лежит на окружности. Тогда координаты точки M можно выразить через радиус R и угол α, образованный лучом OM и положительным направлением оси OX:
x = R cos αy = R sin α
Синусом угла α называется ордината точки M, а косинусом — абсцисса точки M. Тангенс угла α равен отношению синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Котангенс угла α равен обратному отношению: ctg α = cos α / sin α.
Значения тригонометрических функций зависят от величины угла α. Для каждого значения угла α существует единственное значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Значения тригонометрических функций можно найти с помощью специальных таблиц или калькулятора.
Свойства тригонометрических функций
Свойства тригонометрических функций определяются свойствами окружности. Рассмотрим некоторые из них:
Эти свойства позволяют решать различные задачи, связанные с тригонометрическими функциями. Например, можно определить знак тригонометрической функции в заданном интервале, найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке, построить график функции и т. д.
Графики тригонометрических функций
Графики тригонометрических функций строятся на основе их свойств. Рассмотрим графики основных тригонометрических функций:
Построение графиков тригонометрических функций позволяет наглядно представить их поведение и использовать их для решения различных задач.
Примеры решения задач
Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = sin x на отрезке [0, π].Решение: Найдём производную функции: y' = cos x. Приравняем производную к нулю: cos x = 0. Отсюда x = π/2. Найдём значения функции в точках 0 и π/2: y(0) = 0, y(π/2) = 1. Таким образом, наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее значение равно 0. Ответ: наибольшее значение равно 1, наименьшее значение равно 0.
Задача 2. Построить график функции y = cos(x + π/4).Решение: Сначала построим график функции y = cos x. Затем сдвинем его на π/4 вправо. Получим график функции y = cos(x + π/4), который будет колебаться между 1 и –1 с периодом 2π. Ответ: график функции представляет собой синусоиду с амплитудой 1 и периодом 2π, которая сдвинута на π/4 вправо относительно начала координат.
Подведение итогов
На уроке мы изучили тригонометрические функции, их свойства и графики. Мы рассмотрели основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс, а также их свойства. Мы построили графики этих функций и научились решать задачи, связанные с ними.
Домашнее задание
Решить следующие задачи: