Тема: «Тригонометрические функции»

Цель урока: изучить тригонометрические функции, их свойства и графики.

Задачи урока:

• сформировать представление о тригонометрических функциях;
• изучить свойства тригонометрических функций;
• рассмотреть графики тригонометрических функций.

План урока:

1. Введение в тему.
2. Определение тригонометрической функции.
3. Свойства тригонометрических функций.
4. Графики тригонометрических функций.
5. Примеры решения задач.
6. Подведение итогов.
7. Домашнее задание.

Введение в тему

Тригонометрия — это раздел математики, который изучает тригонометрические функции и их применение. Тригонометрические функции используются для описания периодических процессов, таких как колебания, волны и движение по окружности. В 10 классе мы рассмотрим основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Определение тригонометрической функции

Рассмотрим окружность с радиусом R и центром в начале координат (0, 0). Пусть точка M(x, y) лежит на окружности. Тогда координаты точки M можно выразить через радиус R и угол α, образованный лучом OM и положительным направлением оси OX:

x = R cos αy = R sin α

Синусом угла α называется ордината точки M, а косинусом — абсцисса точки M. Тангенс угла α равен отношению синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Котангенс угла α равен обратному отношению: ctg α = cos α / sin α.

Значения тригонометрических функций зависят от величины угла α. Для каждого значения угла α существует единственное значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Значения тригонометрических функций можно найти с помощью специальных таблиц или калькулятора.

Свойства тригонометрических функций

Свойства тригонометрических функций определяются свойствами окружности. Рассмотрим некоторые из них:

1. Область определения: все действительные числа.
2. Множество значений: [-1, 1] для синуса и косинуса; (–∞, +∞) для тангенса и котангенса.
3. Периодичность: синус и косинус — периодические функции с периодом 2π, тангенс и котангенс — с периодом π.
4. Четность и нечетность: синус — нечётная функция, косинус — чётная функция; тангенс и котангенс — нечётные функции.
5. Монотонность: синус и тангенс возрастают на отрезке [–π/2, π/2], косинус и котангенс убывают на этом отрезке.

Эти свойства позволяют решать различные задачи, связанные с тригонометрическими функциями. Например, можно определить знак тригонометрической функции в заданном интервале, найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке, построить график функции и т. д.

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций строятся на основе их свойств. Рассмотрим графики основных тригонометрических функций:

• График синуса представляет собой синусоиду, которая колеблется между –1 и 1. Период синусоиды равен 2π.
• График косинуса также представляет собой синусоиду, но она колеблется между 1 и –1. Период косинуса также равен 2π.
• График тангенса представляет собой кривую, которая возрастает от –∞ до +∞. Период тангенса равен π.
• График котангенса также представляет собой кривую, но она убывает от –∞ до +∞. Период котангенса также равен π.

Построение графиков тригонометрических функций позволяет наглядно представить их поведение и использовать их для решения различных задач.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = sin x на отрезке [0, π].Решение: Найдём производную функции: y' = cos x. Приравняем производную к нулю: cos x = 0. Отсюда x = π/2. Найдём значения функции в точках 0 и π/2: y(0) = 0, y(π/2) = 1. Таким образом, наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее значение равно 0. Ответ: наибольшее значение равно 1, наименьшее значение равно 0.

Задача 2. Построить график функции y = cos(x + π/4).Решение: Сначала построим график функции y = cos x. Затем сдвинем его на π/4 вправо. Получим график функции y = cos(x + π/4), который будет колебаться между 1 и –1 с периодом 2π. Ответ: график функции представляет собой синусоиду с амплитудой 1 и периодом 2π, которая сдвинута на π/4 вправо относительно начала координат.

Подведение итогов

На уроке мы изучили тригонометрические функции, их свойства и графики. Мы рассмотрели основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс, а также их свойства. Мы построили графики этих функций и научились решать задачи, связанные с ними.

Домашнее задание

Решить следующие задачи:

1. Найти значение выражения: sin 30° + cos 60°.
2. Построить график функции: y = tg(x – π/3).
3. Решить уравнение: sin x = –1/2.