Модуль числа

Определение модуля числаМодуль числа — это его абсолютная величина, то есть расстояние от нуля до данного числа на числовой прямой. Модуль числа обозначается символом |a| и определяется следующим образом:|a|=a, если a≥0;|a|=-a, если а<0.Например, модуль числа 5 равен 5, так как 5≥0. А модуль числа -3 равен 3, так как |-3|=3.

Свойства модуля

1. Модуль неотрицательного числа равен самому числу: |а|=а, если а≥0.
2. Модули противоположных чисел равны: |-а|=|а|.
3. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |а|²=а² (это свойство следует из определения модуля).
4. Модуль произведения двух или нескольких чисел равен произведению модулей этих чисел: |ab|=|a||b|.
5. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел, если делитель не равен нулю: |a/b|=|a|/|b|, при b≠0.
6. Модуль суммы двух чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел: |a+b|≤|a|+|b|. Это свойство называется неравенством треугольника. Оно используется для доказательства многих других свойств модуля.
7. Модуль разности двух чисел больше или равен модулю разности их модулей: |a-b|≥||a|-|b||.
8. Если a>b, то |a-b|>0. Это свойство означает, что модуль всегда является положительным числом или нулём.
9. Если |a|<|b|, то a<b.
10. Если |a|=|b|, то а=±b.Эти свойства модуля используются при решении уравнений и неравенств с модулем.

Примеры решения задач с использованием модуля числаЗадача 1. Найдите модуль числа -4,5.Решение: По определению модуля числа, |a|=a, если a≥0, и |a|=-a, если а<0. Так как -4,5<0, то |-4,5|=4,5. Ответ: 4,5.Задача 2. Решите уравнение |x-3|=5.Решение: Раскроем модуль по определению:Если x-3≥0, то |x-3|=(x-3), и уравнение примет вид x-3=5, откуда x=8.Если же x-3<0, то |x-3|=-(x-3)=3-x, и уравнение примет вид 3-х=5, откуда х=-2.Ответ: -2; 8.Задача 3. Решите неравенство |2x+3|<7.Решение: Раскрывая модуль, получаем два неравенства:Если 2х+3≥0 (то есть х≥-3/2), то |2x+3|=2x+3, и неравенство примет вид 2x+3<7, откуда x<2.Если 2x+3<0 (то есть x<-3/2), то |2x+3|=-2x-3, и неравенство примет вид -2x-3<7, откуда x>-5.Таким образом, решением неравенства будет промежуток (-5;2). Ответ: (-5;2).

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое модуль числа?
2. Как определить модуль положительного числа? Отрицательного числа? Нуля?
3. Перечислите основные свойства модуля.
4. Приведите примеры решения задач с модулем числа.
5. Какие методы используются для решения уравнений и неравенств с модулем?

Это лишь часть учебного материала по теме «Модуль числа». Для более глубокого изучения темы рекомендуется обратиться к учебникам и учебным пособиям по математике.