Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Свойства прямоугольника: Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны. Диагонали прямоугольника равны. Все углы прямоугольника прямые. Сумма всех углов прямоугольника равна 360°. Признаки прямоугольника: 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. 2. Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма. У прямоугольника есть несколько особых свойств, которые отличают его от других четырёхугольников: Все углы прямоугольника — прямые. Это значит, что если провести диагональ (то есть отрезок, соединяющий противоположные вершины), то она разделит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Противолежащие стороны прямоугольника равны. Эти свойства работают и в обратную сторону. Если мы знаем, что четырёхугольник обладает этими свойствами, можно смело утверждать, что перед нами прямоугольник. Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Прямоугольник — это частный случай параллелограмма, поэтому не каждый параллелограмм будет прямоугольником. Но это работает и в другую сторону: не каждый прямоугольник — параллелограмм. Чтобы четырёхугольник был прямоугольником, должно выполняться одно из условий: либо все углы должны быть прямыми, либо угол между диагоналями должен быть равен 90°. В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с предметами, имеющими форму прямоугольника. Например, книги, тетради, мониторы компьютеров, экраны телевизоров и смартфонов имеют прямоугольную форму. Примеры задач по теме «Прямоугольник» Задача 1. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M и BM = 4 см, а MC = 2 см. Решение: 1) Так как AM и DM — биссектрисы смежных углов, то ∠BAM + ∠ADM = 180°, следовательно, треугольник ABM — прямоугольный. 2) По свойству биссектрисы треугольника BM : AB = MC : CD, откуда CD = BM CD : MC = 4 2 : 2 = 4 (см). 3) Найдём AB: AB² = AM² + BM² = (5 √3)² + 4² = 75 + 16 = 91, тогда AB = √91 (см). 4) Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, следовательно P = 2 (AB + BC) = 2 (√91 + 6) = 2 (3 + √23) (см). Ответ: P = 2 (3 + √23) см. Задача 2. В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла BAD, которая пересекает сторону CD в точке M так, что CM = 3 см, MD = 5 см. Найдите площадь прямоугольника. Решение: 1) Треугольник ACD — равнобедренный с основанием AD, так как его углы при основании равны (по свойству прямоугольника). Следовательно, биссектриса этого треугольника является также его высотой (по свойству равнобедренного треугольника). Значит, AM = MD = 5 см и CM = MC = 3 см. 2) Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, т. е. S = AD DC. Найдём AD из прямоугольного треугольника AMD по теореме Пифагора: AD² = AM² + MD² = 25 + 9 = 34, тогда AD = √34 (см). 3) DC = 2CM = 2 3 = 6 (см), тогда S = √34 * 6 = 182 (см²). Ответ: S = 182 см². Таким образом, прямоугольник — это геометрическая фигура, обладающая рядом уникальных свойств. Он широко используется в повседневной жизни и имеет множество практических применений.