Сокращение алгебраических дробей

Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Сокращение алгебраической дроби — это процесс упрощения дроби путём деления числителя и знаменателя на общий множитель.

Цель сокращения алгебраической дроби — упростить выражение и сделать его более компактным. Это может быть полезно при решении уравнений, неравенств и других задач.

Для того чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти общий множитель числителя и знаменателя.
2. Разделить числитель и знаменатель на этот множитель.
3. Если возможно, продолжить сокращение до тех пор, пока не получится несократимая дробь.

Рассмотрим пример:$\frac{(x^2 - 4)(x + 3)}{(x - 2)(x^2 + x + 1)}$

Найдём общий множитель для числителя: $(x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)$.

Теперь найдём общий множитель знаменателя: $(x^2 + x + 1)$ не имеет общих множителей с $(x - 2)$, поэтому мы не можем сократить дробь дальше.

Таким образом, сокращённая дробь будет выглядеть так: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x^2 + x + 1)}$.

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое алгебраическая дробь?
• Как сократить алгебраическую дробь?
• Какие шаги нужно выполнить для сокращения алгебраической дроби?

Примеры задач:

1. Сократите дробь: $\frac{2x^3 - 5x^2}{x^2 - x}$.
2. Решите уравнение: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$.

Решение:

1. Найдём общий множитель: $2x^3 - 5x^2 = x^2(2x - 5)$.

Знаменатель не имеет общего множителя с числителем, поэтому сократить дробь нельзя.

Ответ: $\frac{2x^3 - 5x^2}{x^2 - x}$

2. Решим уравнение:

$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю:

$(x^2 - 9) = 0$, откуда $x = \pm 3$.

Проверим корни:

При $x = -3$: $\frac{-9 - 9}{-3 - 3} = \frac{-18}{-6} = 3 \neq 0$. Этот корень не подходит.

При $x = 3$: $\frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ — деление на ноль невозможно. Этот корень также не подходит.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что при сокращении алгебраических дробей важно учитывать область допустимых значений (ОДЗ). Если в процессе сокращения мы получим дробь, в которой есть деление на выражение, содержащее переменную, то необходимо проверить, не обращается ли оно в ноль при некоторых значениях переменной. В противном случае мы можем получить неверный результат.