Похожие темы
Свойства степени с целым показателем.
Свойства степени с целым показателем
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен числу a.
Степень с основанием a и показателем n записывается так: an. Читается «а в степени n».
По определению:
- an = a a ... * a (n раз), где n — показатель степени, а — основание степени.
- a1 = a.
- a0 = 1.
Например, 53 = 5 5 5 = 125; 42 = 4 * 4 = 16.
Для степеней с одинаковыми основаниями действует правило: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним.
Пример: 71 * 74 = 75.
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя, а основание оставляют прежним.
Пример: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
Возведение степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается неизменным.
Пример: $(a^3)^2=a^6$
Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий.
Пример: 23 32 + 52 = 8 9 + 25 = 72 + 25 = 97.
Также существуют свойства степеней с отрицательным показателем.
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
То есть: a−n = $\frac{1}{a^n}$
Пример: 3−2 = $\frac{1}{3^2}$ = $\frac{1}{9}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются.
Пример: x−2 * x−3 = x−5.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель делителя.
Пример: y7 : y5 = y2.
Вопросы для самоконтроля:
- Что такое степень числа?
- Как определяется степень с натуральным показателем?
- Какие правила действуют при умножении, делении, возведении в степень степеней с одинаковыми показателями?
- Как определяются степени с отрицательными показателями?
- Каковы правила умножения и деления степеней с одинаковыми отрицательными показателями?
Примеры решения задач:Задача 1: вычислить значение выражения $2^3 3^2 + 5^2$.Решение: сначала вычислим значение степеней: $2^3=8$, $3^2=9$, $5^2=25$. Подставим полученные значения в исходное выражение: 8 9 + 25 = 72 + 25 = 97. Ответ: 97.
Задача 2: представить число $\frac{1}{81}$ в виде степени с отрицательным показателем.Решение: по определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, значит $\frac{1}{81} = 81^{-1}$. Ответ: $81^{-1}$.
Таким образом, свойства степени с целым показателем позволяют выполнять различные действия со степенями, упрощать и преобразовывать выражения, содержащие степени.
