Площадь четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон ромба В геометрии четырёхугольником называют плоскую фигуру, состоящую из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Четырёхугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, вершины которого A, B, C и D являются серединами соответствующих сторон ромба. Такой четырёхугольник называется параллелограммом Вариньона. Его площадь можно вычислить несколькими способами. Способ 1: через диагонали ромба и синус угла между ними Пусть диагонали AC и BD ромба ABCD пересекаются в точке O. Тогда AO и OC — половины диагоналей AC и BD соответственно. Площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей треугольников AOB, BOC, COD и AOD. Поскольку треугольники AOB и COD, а также BOC и AOD равны по трём сторонам, то площади этих пар треугольников тоже равны. Значит, площадь четырёхугольника равна удвоенной площади одного из треугольников, например, AOB. Площадь треугольника AOB можно найти по формуле S = 1/2 AO OB sin⁡α, где α — угол между сторонами AO и OB. Так как AO и OB — половины диагоналей ромба, то AO OB = AC BD / 4. Подставляя это выражение в формулу площади треугольника, получаем: S = 1/2 AC BD sin⁡α / 4 = 1/8 AC BD sin⁡α. Поскольку четырёхугольник состоит из двух равных треугольников, его площадь равна: SABCD = 2 SΔAOB = 2 1/8 AC BD sin⁡α = 1/4 AC BD sin⁡α Таким образом, площадь четырёхугольника ABCD можно выразить через диагонали ромба AC и BD и угол α между ними. Пример: пусть диагонали ромба равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен 30°. Тогда площадь четырёхугольника будет равна: SABCD = 1/4 6 8 sin(30°) = 12 см². Способ 2: через стороны ромба и высоту Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание. В данном случае основанием является сторона ромба. Обозначим сторону ромба через a, а высоту параллелограмма через h. Тогда площадь четырёхугольника можно найти как произведение основания на высоту: SABCD = a h Чтобы найти высоту h, рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как диагональ ромба является биссектрисой угла. Следовательно, высота h является катетом этого треугольника. По теореме Пифагора: AD² = AB² + BD² Так как AB и BD — стороны ромба, равные a, то AD = √(a² + a²) = a√2. Тогда h = AD sin∠BAD = a √2 sin 90° = a √2 Подставляя полученное значение высоты в формулу площади, получаем: SABCD = a a √2 = a² √2 Таким образом, площадь параллелограмма Вариньона можно выразить через сторону ромба a. Пример: если сторона ромба равна 5 см, то площадь четырёхугольника составит: SABCD = 5² √2 ≈ 17,67 см² Оба способа вычисления площади четырёхугольника дают одинаковый результат. Какой способ использовать, зависит от данных задачи и удобства вычислений. Вопросы: 1. Что такое четырёхугольник? 2. Какие свойства имеет ромб? 3. Как вычислить площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон ромба? 4. Можно ли выразить площадь четырёхугольника через диагонали ромба? 5. Можно ли выразить площадь четырёхугольника через сторону ромба? Примеры:* 1. Пусть диагонали ромба равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен 30°. Найти площадь четырёхугольника. 2. Сторона ромба равна 5 см. Найти площадь четырёхугольника.