Исследование функции Y = x^3 - 2x^2 + x

Данная функция является полиномиальной функцией третьей степени. Для её исследования необходимо выполнить несколько шагов: найти производную, определить критические точки, исследовать знаки производной, найти нули функции, а также исследовать поведение функции на бесконечности.

1. Нахождение производной

Производная функции Y по переменной x вычисляется следующим образом:

Y' = 3x^2 - 4x + 1

2. Определение критических точек

Критические точки находятся при условии, что производная равна нулю:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:

D = (-4)^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня:

x1 = (4 + sqrt(4)) / (2 * 3) = (4 + 2) / 6 = 1

x2 = (4 - sqrt(4)) / (2 * 3) = (4 - 2) / 6 = 1/3

3. Исследование знаков производной

Теперь мы исследуем знаки производной на интервалах, определённых критическими точками:

• Интервал (-∞, 1/3)
• Интервал (1/3, 1)
• Интервал (1, +∞)

Выбираем тестовые точки:

• Для x = 0 (в интервале (-∞, 1/3)): Y' = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 (положительно)
• Для x = 0.5 (в интервале (1/3, 1)): Y' = 3(0.5)^2 - 4(0.5) + 1 = 0.75 - 2 + 1 = -0.25 (отрицательно)
• Для x = 2 (в интервале (1, +∞)): Y' = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 (положительно)

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 1/3) и (1, +∞), и убывает на интервале (1/3, 1).

4. Нахождение нулей функции

Нули функции находятся при условии, что Y = 0:

x^3 - 2x^2 + x = 0

x(x^2 - 2x + 1) = 0

Таким образом, один корень равен x = 0. Второе уравнение x^2 - 2x + 1 = 0 имеет двойной корень x = 1.

Следовательно, нули функции: x = 0 и x = 1.

5. Поведение функции на бесконечности

При x → -∞, Y → -∞; при x → +∞, Y → +∞. Это указывает на то, что график функции будет уходить вниз влево и вверх вправо.

6. Построение графика функции

На основе вышеизложенного, мы можем построить график функции. Он будет иметь:

• Критические точки: (1/3, Y(1/3)), (1, Y(1))
• Нули функции: (0, 0), (1, 0)
• Изменение знаков производной указывает на наличие максимумов и минимумов.

График функции будет выглядеть следующим образом:

График начинается в левом нижнем углу, проходит через точку (0, 0), поднимается до максимума, затем опускается до минимума и снова поднимается, уходя в правый верхний угол.

Таким образом, мы исследовали функцию Y = x^3 - 2x^2 + x и построили её график, учитывая все ключевые аспекты поведения функции.