Как можно исследовать функцию f(x)=-x^3+3x^2-4 и построить её график?

Алгебра 10 класс Исследование функций и построение графиков исследование функции график функции алгебра f(x)=-x^3+3x^2-4 построение графика анализ функции Новый

Чтобы исследовать функцию f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4 и построить её график, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Определение области определения функции

Функция f(x) является многочленом третьей степени, и многочлены определены для всех значений x. Таким образом, область определения функции - это все действительные числа:

Область определения: x ∈ R.

2. Нахождение производной функции

Для изучения поведения функции необходимо найти её производную f'(x):

• f'(x) = -3x^2 + 6x.

3. Нахождение критических точек

Критические точки находятся при равенстве производной нулю:

• -3x^2 + 6x = 0.
• Можно вынести общий множитель: -3x(x - 2) = 0.
• Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2.

4. Определение знака производной

Теперь необходимо определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого исследуем знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, 0): выбираем x = -1, f'(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9 (убывает).
• Интервал (0, 2): выбираем x = 1, f'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 (возрастает).
• Интервал (2, +∞): выбираем x = 3, f'(3) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9 (убывает).

Таким образом, мы можем сделать вывод:

• Функция убывает на интервале (-∞, 0).
• Функция возрастает на интервале (0, 2).
• Функция убывает на интервале (2, +∞).

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь вычислим значения функции в критических точках:

• f(0) = -0^3 + 3*0^2 - 4 = -4.
• f(2) = -2^3 + 3*2^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0.

6. Нахождение значений функции на границах

Теперь определим поведение функции на границах:

• При x → -∞, f(x) → +∞ (так как ведущий коэффициент отрицательный).
• При x → +∞, f(x) → -∞.

7. Построение графика функции

Теперь мы можем построить график, используя все полученные данные:

• Критические точки: (0, -4) и (2, 0).
• Функция убывает до x = 0, затем возрастает до x = 2 и снова убывает.
• График будет иметь вид, похожий на букву "N", где нижняя часть находится ниже оси x.

Собрав все данные, вы можете построить график функции, отметив критические точки и поведение функции на интервалах. Не забудьте также про оси координат и масштаб!