Исследование функции и построение её графика — это важные шаги в анализе поведения функции. Давайте рассмотрим функцию f(x) = x^2 - 5x и проведем её исследование поэтапно.

Функция f(x) = x^2 - 5x является многочленом, а значит, она определена для всех значений x. Таким образом, область определения:

• Область определения: x ∈ R (все действительные числа).

Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение f(x) = 0:

• x^2 - 5x = 0.

Можно вынести x за скобки:

• x(x - 5) = 0.

Теперь мы можем найти корни:

• x = 0 или x - 5 = 0 → x = 5.

Таким образом, нули функции: x = 0 и x = 5.

Для исследования функции на экстремумы найдем её производную:

• f'(x) = 2x - 5.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• 2x - 5 = 0 → 2x = 5 → x = 2.5.

Теперь исследуем знак производной, чтобы понять, где функция возрастает, а где убывает:

• Для x < 2.5: f'(x) < 0 (функция убывает).
• Для x > 2.5: f'(x) > 0 (функция возрастает).

Теперь найдем значение функции в критической точке x = 2.5:

• f(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25.

Таким образом, точка минимума: (2.5, -6.25).

Теперь, когда мы знаем нули функции и координаты минимума, можем построить график:

• График — это парабола, открытая вверх (так как коэффициент при x^2 положителен).
• Нули функции: (0, 0) и (5, 0).
• Минимум функции: (2.5, -6.25).

Теперь мы можем нарисовать график функции, отметив на нем нули и минимум. График будет иметь форму параболы, проходящей через точки (0, 0) и (5, 0), с минимумом в точке (2.5, -6.25).

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = x^2 - 5x и построили её график. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!