Как можно продолжить последовательность чисел: 3, 12, 27, ...?

Алгебра 10 класс Последовательности и ряды последовательность чисел продолжение последовательности алгебра 10 класс Новый

Чтобы продолжить последовательность чисел 3, 12, 27, давайте сначала определим, как образуются эти числа. Мы можем попытаться найти закономерность между ними.

Посмотрим на разности между последовательными членами:

• 12 - 3 = 9
• 27 - 12 = 15

Теперь у нас есть разности: 9 и 15. Давайте найдем разности между этими разностями:

• 15 - 9 = 6

Мы видим, что вторая разность равна 6. Это может указывать на то, что последовательность является квадратичной, то есть имеет вид:

an^2 + bn + c, где a, b и c - некоторые числа, а n - номер члена последовательности.

Теперь попробуем выразить первые три члена последовательности через формулу:

• Для n=1: a(1^2) + b(1) + c = 3
• Для n=2: a(2^2) + b(2) + c = 12
• Для n=3: a(3^2) + b(3) + c = 27

Это дает нам систему уравнений:

1. a + b + c = 3
2. 4a + 2b + c = 12
3. 9a + 3b + c = 27

Теперь решим эту систему уравнений. Выразим c из первого уравнения:

c = 3 - a - b

Подставим это значение в остальные уравнения:

• 4a + 2b + (3 - a - b) = 12
• 9a + 3b + (3 - a - b) = 27

Упростим первое уравнение:

• 4a + 2b + 3 - a - b = 12
• 3a + b = 9
(1)

Упростим второе уравнение:

• 9a + 3b + 3 - a - b = 27
• 8a + 2b = 24

Упростим его:

• 4a + b = 12
(2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 3a + b = 9
(1)
2. 4a + b = 12
(2)

Вычтем (1) из (2):

• (4a + b) - (3a + b) = 12 - 9
• a = 3

Теперь подставим a = 3 в (1):

• 3(3) + b = 9
• 9 + b = 9
• b = 0

Теперь найдем c:

• c = 3 - 3 - 0 = 0

Таким образом, мы получили:

a = 3, b = 0, c = 0. Теперь у нас есть формула для n-го члена последовательности:

3n^2.

Теперь можем найти следующие члены последовательности:

• Для n=4: 3(4^2) = 3 * 16 = 48
• Для n=5: 3(5^2) = 3 * 25 = 75

Таким образом, продолжение последовательности будет: 3, 12, 27, 48, 75.