Как можно решить уравнение 4cos^2x - 4sinx - 1 = 0? Можешь, пожалуйста, подробно объяснить, как это сделать?

Алгебра 10 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 10 класс тригонометрические уравнения cos и sin подробное объяснение методы решения уравнений Новый

Конечно! Давайте разберем уравнение 4cos²x - 4sinx - 1 = 0 шаг за шагом.

1. **Используем тригонометрическую идентичность**: Мы знаем, что cos²x = 1 - sin²x. Это позволяет нам выразить всё через синусы.

2. **Подставляем идентичность**: Заменим cos²x в нашем уравнении:

• 4(1 - sin²x) - 4sinx - 1 = 0

3. **Раскрываем скобки**: Упрощаем уравнение:

• 4 - 4sin²x - 4sinx - 1 = 0

4. **Собираем подобные члены**: Упрощаем уравнение:

• -4sin²x - 4sinx + 3 = 0

5. **Умножаем на -1**: Чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов, умножим всё уравнение на -1:

• 4sin²x + 4sinx - 3 = 0

6. **Применяем формулу квадратного уравнения**: Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a = 4, b = 4, c = -3. Используем формулу для нахождения корней:

• sinx = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

7. **Вычисляем дискриминант**: Сначала найдем дискриминант D:

• D = b² - 4ac = 4² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64

8. **Находим корни**: Теперь подставим значение D в формулу:

• sinx = (-4 ± √64) / (2 * 4)
• sinx = (-4 ± 8) / 8

9. **Решаем для двух случаев**:

• 1-й случай: sinx = (4) / 8 = 0.5
• 2-й случай: sinx = (-12) / 8 = -1.5 (такое значение не подходит, так как синус ограничен от -1 до 1)

10. **Находим углы**: Теперь, когда мы знаем, что sinx = 0.5, найдем углы x:

• x = arcsin(0.5) = π/6 + 2kπ и x = π - π/6 + 2kπ, где k ∈ Z (целые числа)
• Таким образом, x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.

Итак, мы нашли все решения уравнения 4cos²x - 4sinx - 1 = 0. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!