Чтобы решить неравенство √(x+3) < x+1, давайте следовать определённым шагам:

Для начала, нужно определить, при каких значениях x выражение под корнем √(x+3) имеет смысл. Это означает, что x + 3 должно быть больше или равно нулю:

• x + 3 ≥ 0
• x ≥ -3

Таким образом, область допустимых значений: x ≥ -3.

Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Однако помните, что при этом мы должны учитывать, что обе стороны неравенства должны быть неотрицательными. Это будет выполнено, если x + 1 ≥ 0, что означает, что x ≥ -1.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

• (√(x+3))^2 < (x+1)^2
• x + 3 < (x + 1)(x + 1)

Раскроем скобки:

• x + 3 < x^2 + 2x + 1

Теперь перенесем все в одну сторону:

• 0 < x^2 + 2x + 1 - x - 3
• 0 < x^2 + x - 2

Или:

• x^2 + x - 2 > 0

Решим уравнение x^2 + x - 2 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

Корни уравнения:

• x1 = (-b + √D) / 2a = (-1 + 3) / 2 = 1
• x2 = (-b - √D) / 2a = (-1 - 3) / 2 = -2

Теперь у нас есть корни x = 1 и x = -2. Разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -2)
• (-2, 1)
• (1, +∞)

Теперь проверим знак выражения x^2 + x - 2 на каждом из интервалов:

• Для x < -2 (например, x = -3): (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0
• Для -2 < x < 1 (например, x = 0): 0^2 + 0 - 2 = -2 < 0
• Для x > 1 (например, x = 2): 2^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0

Таким образом, неравенство x^2 + x - 2 > 0 выполняется на интервалах:

• x < -2
• x > 1

Однако, учитывая область допустимых значений (x ≥ -3),окончательный ответ будет:

• x ∈ [-3, -2) ∪ (1, +∞)

Таким образом, решением неравенства √(x+3) < x+1 являются значения x из интервала [-3, -2) и (1, +∞).