Чтобы найти сумму целых решений неравенства √(x² + 8x) ≤ 3, давайте сначала упростим это неравенство.

1. Начнем с того, что √(x² + 8x) ≤ 3. Для удобства возведем обе стороны неравенства в квадрат (учтите, что при этом мы должны гарантировать, что обе стороны неотрицательны, что здесь выполняется, так как корень всегда неотрицателен):

√(x² + 8x) ≤ 3 приводит к x² + 8x ≤ 9.

2. Перепишем неравенство в стандартной форме:

x² + 8x - 9 ≤ 0.

3. Теперь решим соответствующее уравнение:

x² + 8x - 9 = 0.

Для решения этого уравнения используем дискриминант:

• a = 1, b = 8, c = -9.
• Дискриминант D = b² - 4ac = 8² - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100.

4. Теперь найдем корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-8 + 10) / 2 = 2 / 2 = 1.
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-8 - 10) / 2 = -18 / 2 = -9.

5. Таким образом, корни уравнения: x₁ = 1 и x₂ = -9. Теперь определим, на каком промежутке неравенство x² + 8x - 9 ≤ 0 выполняется.

6. Рассмотрим промежутки, которые образуются этими корнями:

• (-∞, -9)
• (-9, 1)
• (1, +∞)

7. Проверим знак неравенства в каждом из промежутков:

• Для x < -9, например, x = -10: (-10)² + 8*(-10) - 9 = 100 - 80 - 9 = 11 (положительно).
• Для -9 < x < 1, например, x = 0: 0² + 8*0 - 9 = -9 (отрицательно).
• Для x > 1, например, x = 2: 2² + 8*2 - 9 = 4 + 16 - 9 = 11 (положительно).

8. Таким образом, неравенство x² + 8x - 9 ≤ 0 выполняется на промежутке [-9, 1].

9. Теперь определим целые числа в этом промежутке:

• -9
• -8
• -7
• -6
• -5
• -4
• -3
• -2
• -1
• 0
• 1

10. Теперь найдем сумму всех целых чисел от -9 до 1:

Сумма = -9 + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1.

Сложим их по парам:

• (-9 + 1) = -8
• (-8 + 0) = -8
• (-7 + (-1)) = -8
• (-6 + (-2)) = -8
• (-5 + (-3)) = -8
• (-4) = -4 (остается одно число).

Итак, мы имеем 5 пар по -8 и одно -4:

Сумма = 5 * (-8) + (-4) = -40 - 4 = -44.

Ответ: сумма целых решений неравенства √(x² + 8x) ≤ 3 равна -44.