Как решить уравнение 1 + cos(x) = 2cos(x/2)?

Алгебра 10 класс Уравнения тригонометрии решение уравнения алгебра cos(x) 2cos(x/2) математические задачи тригонометрические уравнения алгебраические методы Новый

Для решения уравнения 1 + cos(x) = 2cos(x/2) необходимо использовать некоторые тригонометрические преобразования и свойства. Рассмотрим шаги, которые помогут нам решить данное уравнение.

Шаг 1: Преобразование правой части уравнения

Сначала обратим внимание на правую часть уравнения: 2cos(x/2). Мы можем использовать известное тригонометрическое тождество, которое связывает cos(x) и cos(x/2):

• cos(x) = 2cos²(x/2) - 1

Таким образом, подставим это тождество в уравнение:

1 + (2cos²(x/2) - 1) = 2cos(x/2)

Шаг 2: Упрощение уравнения

Упростим полученное уравнение:

• 1 - 1 + 2cos²(x/2) = 2cos(x/2)
• 2cos²(x/2) = 2cos(x/2)

Шаг 3: Деление обеих сторон на 2

Теперь можно разделить обе стороны уравнения на 2 (при условии, что cos(x/2) не равен 0):

• cos²(x/2) = cos(x/2)

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

• cos²(x/2) - cos(x/2) = 0

Шаг 5: Вынесение общего множителя

Вынесем общий множитель:

• cos(x/2)(cos(x/2) - 1) = 0

Шаг 6: Решение полученного уравнения

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен равняться нулю. Рассмотрим оба случая:

1. cos(x/2) = 0
2. cos(x/2) - 1 = 0

Шаг 7: Решение первого случая

Решим первое уравнение:

• cos(x/2) = 0
• Следовательно, x/2 = (2n + 1)π/2, где n - целое число.
• Тогда x = (2n + 1)π, где n - целое число.

Шаг 8: Решение второго случая

Решим второе уравнение:

• cos(x/2) - 1 = 0
• Следовательно, cos(x/2) = 1.
• Это происходит, когда x/2 = 2kπ, где k - целое число.
• Тогда x = 4kπ, где k - целое число.

Шаг 9: Обобщение решения

Таким образом, общее решение уравнения 1 + cos(x) = 2cos(x/2) можно записать в виде:

• x = (2n + 1)π, где n - целое число.
• x = 4kπ, где k - целое число.

В итоге, мы нашли все возможные значения x, удовлетворяющие исходному уравнению.