Как решить уравнение sin^2x + sin2x=1?

Алгебра 10 класс Уравнения тригонометрии решение уравнения алгебра sin^2x sin2x Тригонометрия математические уравнения методы решения графики функций математический анализ примеры уравнений Новый

Чтобы решить уравнение sin^2(x) + sin(2x) = 1, начнем с того, что выразим sin(2x) через sin(x). Мы знаем, что:

sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x).

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

sin^2(x) + 2 * sin(x) * cos(x) = 1.

Теперь мы можем привести все к одной стороне уравнения:

sin^2(x) + 2 * sin(x) * cos(x) - 1 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно sin(x). Обозначим y = sin(x). Тогда у нас получится:

y^2 + 2y * cos(x) - 1 = 0.

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения ay^2 + by + c = 0, где:

• a = 1,
• b = 2 * cos(x),
• c = -1.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

Подставим значения:

y = (-(2 * cos(x)) ± √((2 * cos(x))² - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1).

Упростим это:

y = (-2 * cos(x) ± √(4 * cos²(x) + 4)) / 2.

Это упростится до:

y = -cos(x) ± √(cos²(x) + 1).

Теперь мы знаем, что sin(x) должно находиться в диапазоне от -1 до 1. Поэтому нам нужно исследовать оба корня:

1. y1 = -cos(x) + √(cos²(x) + 1),
2. y2 = -cos(x) - √(cos²(x) + 1).

Рассмотрим первый корень y1. Поскольку √(cos²(x) + 1) всегда больше cos(x), то y1 всегда будет больше 0. Таким образом, этот корень может быть решен.

Теперь рассмотрим второй корень y2. Поскольку √(cos²(x) + 1) всегда больше cos(x), то y2 будет всегда меньше -1. Таким образом, этот корень не подходит.

Теперь нужно решить уравнение y1 = sin(x):

-cos(x) + √(cos²(x) + 1) = sin(x).

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества и решить это уравнение. Однако, для упрощения, можно воспользоваться графическим методом или численным решением, чтобы найти корни уравнения в пределах от 0 до 2π.

Таким образом, мы находим все возможные значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.