Чтобы найти минимальный периметр прямоугольника с заданной площадью, нужно сначала вспомнить, что периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:

P = 2(a + b),

где a и b - длины сторон прямоугольника.

Также мы знаем, что площадь прямоугольника равна:

S = a * b.

В нашем случае площадь равна 81 см², то есть:

a * b = 81.

Теперь, чтобы минимизировать периметр, нам нужно выразить одну из сторон через другую. Например, выразим b через a:

b = 81 / a.

Теперь подставим это значение в формулу для периметра:

P = 2(a + 81 / a).

Теперь нам нужно найти значение a, которое минимизирует P. Для этого мы найдем производную функции P(a) и приравняем её к нулю:

P'(a) = 2(1 - 81 / a²).

Приравняем производную к нулю:

1 - 81 / a² = 0.

Решим это уравнение:

1. Переносим 81 / a² в другую сторону:
2. 1 = 81 / a²
3. Умножаем обе стороны на a²:
4. a² = 81
5. Извлекаем квадратный корень:
6. a = 9 или a = -9 (отрицательное значение не учитываем).

Теперь подставим a = 9 в формулу для b:

b = 81 / 9 = 9.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 9 см и 9 см, что означает, что прямоугольник является квадратом.

Теперь найдем периметр:

P = 2(9 + 9) = 2 * 18 = 36 см.

Таким образом, минимальный периметр прямоугольника с площадью 81 см² равен 36 см.