Какой минимальный периметр может иметь прямоугольник, площадь которого равна 81 см2?

Алгебра 10 класс Оптимизация функций минимальный периметр прямоугольник площадь 81 см2 задачи по алгебре геометрия свойства прямоугольника Новый

Чтобы найти минимальный периметр прямоугольника с заданной площадью, нужно сначала вспомнить, что периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:

P = 2(a + b),

где a и b - длины сторон прямоугольника.

Также мы знаем, что площадь прямоугольника равна:

S = a * b.

В нашем случае площадь равна 81 см², то есть:

a * b = 81.

Теперь, чтобы минимизировать периметр, нам нужно выразить одну из сторон через другую. Например, выразим b через a:

b = 81 / a.

Теперь подставим это значение в формулу для периметра:

P = 2(a + 81 / a).

Теперь нам нужно найти значение a, которое минимизирует P. Для этого мы найдем производную функции P(a) и приравняем её к нулю:

P'(a) = 2(1 - 81 / a²).

Приравняем производную к нулю:

1 - 81 / a² = 0.

Решим это уравнение:

1. Переносим 81 / a² в другую сторону:
2. 1 = 81 / a²
3. Умножаем обе стороны на a²:
4. a² = 81
5. Извлекаем квадратный корень:
6. a = 9 или a = -9 (отрицательное значение не учитываем).

Теперь подставим a = 9 в формулу для b:

b = 81 / 9 = 9.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 9 см и 9 см, что означает, что прямоугольник является квадратом.

Теперь найдем периметр:

P = 2(9 + 9) = 2 * 18 = 36 см.

Таким образом, минимальный периметр прямоугольника с площадью 81 см² равен 36 см.