Как определить координаты точки максимума функции y = (9 - x)e^(x + 9)?

Алгебра 10 класс Оптимизация функций координаты точки максимума функция y алгебра 10 определение максимума e в алгебре Новый

Чтобы определить координаты точки максимума функции y = (9 - x)e^(x + 9), мы должны выполнить несколько шагов. Начнем с нахождения производной этой функции и определения критических точек.

1. Найдем производную функции y.

   Для этого воспользуемся правилом произведения. Пусть:

   • u = (9 - x)
   • v = e^(x + 9)

   Тогда производная y будет равна:

   y' = u'v + uv'

   Теперь найдем u' и v':

   • u' = -1 (производная от (9 - x))
   • v' = e^(x + 9) (производная от e^(x + 9), так как производная экспоненты равна самой экспоненте)

   Теперь подставим эти производные в формулу:

   y' = (-1)e^(x + 9) + (9 - x)e^(x + 9)

   y' = e^(x + 9)(9 - x - 1)

   y' = e^(x + 9)(8 - x)

2. Определим критические точки.

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

   e^(x + 9)(8 - x) = 0

   Поскольку e^(x + 9) никогда не равен нулю, нам нужно решить уравнение:

   8 - x = 0

   Отсюда x = 8.

3. Проверим, является ли эта точка максимумом.

   Для этого найдем вторую производную функции y:

   y'' = (e^(x + 9)(-1) + e^(x + 9)(8 - x)(1))

   y'' = e^(x + 9)(-1 + 8 - x)

   y'' = e^(x + 9)(7 - x)

   Теперь подставим x = 8:

   y''(8) = e^(8 + 9)(7 - 8) = e^(17)(-1) < 0.

   Так как вторая производная отрицательна, это подтверждает, что x = 8 - это точка максимума.

4. Найдем координаты точки максимума.

   Теперь подставим x = 8 в исходную функцию, чтобы найти y:

   y(8) = (9 - 8)e^(8 + 9) = 1 * e^(17) = e^(17).

Таким образом, координаты точки максимума функции y = (9 - x)e^(x + 9) равны (8, e^(17)).