Срочно!! Помогите, прошу!

Докажите, что выражение a³ + 4a для любых целых чисел a либо делится на 5, либо при делении на 5 дает остаток 1, либо при делении на 5 дает остаток 4.

Помогите, пожалуйста!

Алгебра 10 класс Делимость и остатки алгебра 10 класс доказательство делимости выражение a³ + 4a целые числа a остаток при делении на 5 математические выражения делимость на 5 Новый

Чтобы доказать, что выражение a³ + 4a для любых целых чисел a либо делится на 5, либо при делении на 5 дает остаток 1, либо остаток 4, мы можем рассмотреть все возможные остатки от деления целого числа a на 5. Это позволит нам проверить все случаи.

Остатки от деления на 5 могут быть следующими: 0, 1, 2, 3, 4. Теперь мы будем подставлять каждое значение a и вычислять a³ + 4a, а затем определим, какой остаток получается при делении на 5.

1. Если a ≡ 0 (mod 5):
• a³ + 4a = 0³ + 4*0 = 0.
• Остаток 0 при делении на 5.
2. Если a ≡ 1 (mod 5):
• a³ + 4a = 1³ + 4*1 = 1 + 4 = 5.
• Остаток 0 при делении на 5.
3. Если a ≡ 2 (mod 5):
• a³ + 4a = 2³ + 4*2 = 8 + 8 = 16.
• 16 делим на 5, остаток 1.
4. Если a ≡ 3 (mod 5):
• a³ + 4a = 3³ + 4*3 = 27 + 12 = 39.
• 39 делим на 5, остаток 4.
5. Если a ≡ 4 (mod 5):
• a³ + 4a = 4³ + 4*4 = 64 + 16 = 80.
• 80 делим на 5, остаток 0.

Теперь подведем итоги:

• При a ≡ 0 (mod 5) остаток 0.
• При a ≡ 1 (mod 5) остаток 0.
• При a ≡ 2 (mod 5) остаток 1.
• При a ≡ 3 (mod 5) остаток 4.
• При a ≡ 4 (mod 5) остаток 0.

Таким образом, мы доказали, что для любого целого числа a выражение a³ + 4a либо делится на 5, либо дает остаток 1, либо остаток 4 при делении на 5.