Похожие вопросы
2025-09-02 22:21:19
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2 и у = 5х, предварительно сделав рисунок.
Алгебра 10 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигуры линии у = х^2 линии у = 5х алгебра 10 класс вычисление площади графики функций интеграция области между графиками
2025-09-02 22:21:29
Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у = х^2 и у = 5х, давайте сначала найдем точки их пересечения. Это поможет нам определить границы интегрирования.
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.
Для этого приравняем у = х^2 и у = 5х:
- х^2 = 5х
- Переносим все в одну сторону: х^2 - 5х = 0
- Вынесем х за скобки: х(х - 5) = 0
- Таким образом, получаем два корня: х = 0 и х = 5.
Следовательно, точки пересечения кривых находятся в точках (0, 0) и (5, 25).
Шаг 2: Найдем площадь фигуры.
Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно вычислить с помощью интеграла:
- Площадь S = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx, где a и b - границы интегрирования.
- В нашем случае верхней функцией является у = 5х, а нижней у = х^2.
- Границы интегрирования: a = 0, b = 5.
Теперь подставим всё в формулу:
S = ∫[0, 5] (5х - х^2) dx.
Шаг 3: Вычислим интеграл.
- Сначала найдем первообразную функции 5х - х^2:
- Первообразная 5х = (5/2)x^2, а первообразная -х^2 = (-1/3)x^3.
- Таким образом, первообразная будет: (5/2)x^2 - (1/3)x^3.
Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 5:
S = [(5/2)(5^2) - (1/3)(5^3)] - [(5/2)(0^2) - (1/3)(0^3)].
Подсчитаем:
- (5/2)(25) - (1/3)(125) = 62.5 - 41.67 ≈ 20.83.
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2 и у = 5х, равна примерно 20.83 квадратных единиц.