1. Как решить неравенство (x^2-9)/(x-5) < 0 методом интервалов?
2. Как найти угол наклона касательной к графику функции f(x) = 1 - корень из 3/x в точке с абсциссой x0 = -1?

Алгебра 11 класс Неравенства и производные решение неравенства методом интервалов угол наклона касательной график функции f(x) алгебра 11 класс задачи по алгебре Новый

1. Решение неравенства (x^2 - 9)/(x - 5) < 0 методом интервалов:

Для начала, давайте разложим числитель на множители:

• x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Теперь мы можем переписать неравенство:

(x - 3)(x + 3)/(x - 5) < 0

Далее, мы находим нули числителя и знаменателя:

• Нули числителя: x - 3 = 0 => x = 3
• Нули числителя: x + 3 = 0 => x = -3
• Нули знаменателя: x - 5 = 0 => x = 5

Теперь у нас есть три критических точки: x = -3, x = 3 и x = 5. Эти точки разделяют числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -3)
• (-3, 3)
• (3, 5)
• (5, +∞)

Теперь мы проверим знак выражения (x - 3)(x + 3)/(x - 5) на каждом из интервалов:

1. Интервал (-∞, -3): Выберем точку, например, x = -4. Подставляем:
• (-4 - 3)(-4 + 3)/(-4 - 5) = (-7)(-1)/(-9) = 7/9 > 0
2. Интервал (-3, 3): Выберем точку, например, x = 0. Подставляем:
• (0 - 3)(0 + 3)/(0 - 5) = (-3)(3)/(-5) = 9/5 > 0
3. Интервал (3, 5): Выберем точку, например, x = 4. Подставляем:
• (4 - 3)(4 + 3)/(4 - 5) = (1)(7)/(-1) = -7 < 0
4. Интервал (5, +∞): Выберем точку, например, x = 6. Подставляем:
• (6 - 3)(6 + 3)/(6 - 5) = (3)(9)/(1) = 27 > 0

Теперь мы можем записать, где выражение меньше нуля:

Это происходит на интервале (3, 5).

Не забываем проверить, включаются ли границы. В точках x = -3, x = 3 и x = 5 значение выражения равно нулю или неопределено, поэтому они не включаются в решение.

Ответ: x ∈ (3, 5).

2. Как найти угол наклона касательной к графику функции f(x) = 1 - корень из 3/x в точке с абсциссой x0 = -1?

Для нахождения угла наклона касательной, нам нужно найти производную функции f(x) и подставить значение x0 = -1.

Сначала найдем производную f(x):

• f(x) = 1 - √(3/x) = 1 - √3 * x^(-1/2)
• Используем правило производной: (u * v)' = u'v + uv'

Теперь найдем производную:

• f'(x) = 0 - (√3 * (-1/2) * x^(-3/2)) = (√3)/(2 * x^(3/2))

Теперь подставим x0 = -1:

• f'(-1) = (√3)/(2 * (-1)^(3/2))
• (-1)^(3/2) = -√(-1) = -i, но это не имеет смысла, так как x = -1 не входит в область определения функции f(x).

Таким образом, производная в точке x0 = -1 не существует, и мы не можем найти угол наклона касательной к графику функции в этой точке.

Ответ: Угол наклона касательной не существует, так как функция не определена в точке x = -1.